Похожие вопросы
2025-09-11 20:32:45
Упражнения
- Докажите, что функция F является первообразной для функции f на указанном промежутке:
- a) F(x)=x^{5}, f(x)=5 x^{4}, x ∈(-∞ ; ∞);
- б) F(x)=x^{-3}, f(x)=-3 x^{-4}, x ∈(0 ; ∞);
- в) F(x)=1/7 x^{7}, f(x)=x^{6}, x ∈(-∞ ; ∞);
- г) F(x)=-1/6 x^{-6}, f(x)=x^{-7}, x ∈(0 ; ∞).
Алгебра Университет Первообразные и интегралы алгебра первообразная функция доказательство упражнения математика интеграция пределы анализ функций промежуток
2025-09-11 20:33:10
Чтобы доказать, что функция F является первообразной для функции f на указанном промежутке, нам нужно показать, что производная функции F равна функции f на этом промежутке. Мы будем использовать правило дифференцирования.
а) F(x) = x^5, f(x) = 5x^4, x ∈ (-∞; ∞)
- Находим производную F(x):
- F'(x) = d/dx (x^5) = 5x^4.
- Сравниваем с f(x): f(x) = 5x^4.
- Так как F'(x) = f(x), то F является первообразной для f на промежутке (-∞; ∞).
б) F(x) = x^(-3), f(x) = -3x^(-4), x ∈ (0; ∞)
- Находим производную F(x):
- F'(x) = d/dx (x^(-3)) = -3x^(-4).
- Сравниваем с f(x): f(x) = -3x^(-4).
- Так как F'(x) = f(x), то F является первообразной для f на промежутке (0; ∞).
в) F(x) = (1/7)x^7, f(x) = x^6, x ∈ (-∞; ∞)
- Находим производную F(x):
- F'(x) = d/dx ((1/7)x^7) = x^6.
- Сравниваем с f(x): f(x) = x^6.
- Так как F'(x) = f(x), то F является первообразной для f на промежутке (-∞; ∞).
г) F(x) = -1/6 x^(-6), f(x) = x^(-7), x ∈ (0; ∞)
- Находим производную F(x):
- F'(x) = d/dx (-1/6 x^(-6)) = -1/6 * (-6)x^(-7) = x^(-7).
- Сравниваем с f(x): f(x) = x^(-7).
- Так как F'(x) = f(x), то F является первообразной для f на промежутке (0; ∞).
Таким образом, в каждом из случаев мы подтвердили, что функции F являются первообразными для функций f на указанных промежутках.