Методы Монте-Карло основаны на использовании случайных процессов для решения математических и статистических задач. Основной математической основой этих методов является закон больших чисел, который утверждает, что при увеличении числа испытаний среднее значение выборки будет стремиться к математическому ожиданию.

Давайте рассмотрим основные формы закона больших чисел:

• Закон больших чисел в форме Колмогорова: Этот закон утверждает, что при бесконечном количестве независимых испытаний среднее арифметическое выборки будет сходиться к математическому ожиданию. Это означает, что если мы будем повторять эксперимент много раз, то среднее значение результатов будет приближаться к истинному значению.
• Закон больших чисел в форме Хинчина: Эта форма закона также утверждает, что с увеличением числа испытаний среднее значение выборки будет сходиться к математическому ожиданию, но с некоторыми дополнительными условиями на распределение. Она более строгая и используется в тех случаях, когда необходимо учитывать условия сходимости.
• Закон больших чисел в форме Чебышева: Этот закон предоставляет более общие условия сходимости и утверждает, что для любого распределения, имеющего конечное математическое ожидание и дисперсию, среднее значение выборки будет сходиться к математическому ожиданию. Это позволяет использовать метод Монте-Карло даже в тех случаях, когда распределение не является нормальным.

Таким образом, все три формы закона больших чисел играют важную роль в теории вероятностей и статистике, однако для методов Монте-Карло наиболее часто используется именно закон больших чисел в форме Колмогорова, так как он наиболее прост и интуитивно понятен. Он позволяет понять, как при увеличении числа случайных выборок результаты будут стремиться к ожидаемому значению, что является ключевым моментом в применении методов Монте-Карло для решения финансовых задач.