Найти минимальное количество бросков иглы, которые нужно произвести, чтоб с вероятностью 0.98 точность определения числа π была не больше ζ = 0.1. В расчетах принимать π = 3.141592. Минимальное количество бросков иглы:

Другие предметы Колледж Методы Монте-Карло теория вероятностей математическая статистика колледж броски иглы вероятность число π точность минимальное количество ζ учебные задачи Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать некоторые принципы теории вероятностей и статистики, в частности, связанные с оценкой числа π с помощью метода Монте-Карло. Мы будем бросать иглу на плоскость и использовать соотношение между площадью круга и квадратом, чтобы оценить значение π.

Давайте разберем шаги, которые нужно выполнить:

1. Определяем требуемую точность:
   • Нам задана точность ζ = 0.1.
   • Мы хотим, чтобы наша оценка π была в пределах 0.1 от истинного значения π = 3.141592.
2. Формулируем задачу:
   • Мы знаем, что вероятность попадания иглы в круг радиуса 1, помещенный в квадрат со стороной 2, равна отношению площадей:
   • π/4 = (площадь круга) / (площадь квадрата).
   • Следовательно, π = 4 * (число попаданий в круг) / (общее число бросков).
3. Используем формулу для оценки дисперсии:
   • Дисперсия оценки π, полученной с помощью метода Монте-Карло, может быть оценена как:
   • Var(π) = 16 * p * (1 - p) / n, где p - вероятность попадания иглы в круг, n - количество бросков.
   • Для равномерного распределения p = 0.5, следовательно, Var(π) = 16 * 0.5 * 0.5 / n = 4 / n.
4. Определяем необходимое количество бросков:
   • Мы хотим, чтобы стандартное отклонение (корень из дисперсии) было меньше 0.1:
   • sqrt(Var(π)) < 0.1.
   • Подставляем выражение дисперсии:
   • sqrt(4 / n) < 0.1.
   • Квадратируем обе стороны:
   • 4 / n < 0.01.
   • Теперь умножаем обе стороны на n и делим на 0.01:
   • 4 < 0.01 * n.
   • Итак, n > 400.
5. Заключение:
   • Минимальное количество бросков иглы, необходимое для достижения заданной точности с вероятностью 0.98, составляет 401.

Таким образом, минимальное количество бросков иглы, которое нужно произвести, чтобы с вероятностью 0.98 точность определения числа π была не больше ζ = 0.1, равно 401.