Диффереицнальное Уравиеине малых колсбаний имеет

Другие предметы Колледж Колебания и волны Дифференциальное уравнение малые колебания частота колебаний обобщенная координата затухающие колебания теоретическая механика колледж физика механика колебаний Новый

Для решения данного дифференциального уравнения малых колебаний, начнем с его анализа. Уравнение имеет следующий вид:

20q'' + 120q' + 720q = 0

Это уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы можем решить его, найдя характеристическое уравнение. Для этого предположим, что решение имеет вид q(t) = e^(rt), где r - корень характеристического уравнения.

Подставляя это предположение в уравнение, получаем:

20r^2 + 120r + 720 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 20, b = 120, c = 720.
• Подставим значения: D = 120^2 - 4 * 20 * 720.
• Вычислим: D = 14400 - 57600 = -43200.

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что у уравнения есть комплексные корни. Запишем их:

r = (-b ± √D) / (2a) = (-120 ± √(-43200)) / (40)

Корни будут иметь вид:

r = -3 ± 3i√(480)

Теперь мы можем записать общее решение уравнения:

q(t) = e^(-3t)(C1 * cos(3√(480)t) + C2 * sin(3√(480)t))

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями.

Теперь, чтобы найти частоту затухающих колебаний, нам нужно обратить внимание на мнимую часть корней. Частота затухающих колебаний определяется как:

ω = 3√(480)

Таким образом, подставим значение:

ω = 3 * √(480) ≈ 3 * 21.9089 ≈ 65.7267 рад/с

Итак, частота затухающих колебаний равна примерно 65.73 рад/с.

В заключение, мы нашли частоту затухающих колебаний, проанализировав характеристическое уравнение и вычислив его корни. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!