Доказать теорему Ролля.

Другие предметы Колледж Теорема Ролля теорема Ролля доказательство теоремы Ролля математический анализ колледж задачи по математическому анализу Новый

Теорема Ролля утверждает, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b), то существует хотя бы одна точка c из интервала (a, b), такая что f'(c) = 0.

Теперь давайте подробно разберем доказательство этой теоремы.

1. Условия теоремы:
   • Функция f(x) должна быть непрерывной на [a, b]. Это значит, что нет разрывов, скачков или других аномалий на этом отрезке.
   • Функция f(x) должна быть дифференцируемой на (a, b). Это означает, что производная f'(x) существует для всех x в интервале (a, b).
   • Необходимо, чтобы f(a) = f(b). Это условие гарантирует, что значения функции на концах отрезка равны.
2. Применение теоремы о максимуме:

   Поскольку функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], то по теореме Вейерштрасса она достигает своего максимума и минимума на этом отрезке. Обозначим:

   • M = max{f(a), f(b), f(x) для x из (a, b)}
   • m = min{f(a), f(b), f(x) для x из (a, b)}
3. Рассмотрение случаев:

   Теперь рассмотрим два случая:

   • Если M = f(a) = f(b), то максимальное значение функции также достигается на концах отрезка. В этом случае, по теореме о максимуме, существует точка c в (a, b), где f'(c) = 0.
   • Если M > f(a) = f(b), то функция f(x) достигает максимума в какой-то точке c внутри интервала (a, b). В этой точке производная f'(c) также равна 0, так как это максимум функции.
4. Заключение:

   Таким образом, в любом случае мы можем утверждать, что существует хотя бы одна точка c из (a, b), такая что f'(c) = 0. Это и есть результат теоремы Ролля.

Таким образом, мы доказали теорему Ролля, основываясь на свойствах непрерывных и дифференцируемых функций. Если у вас есть вопросы или вы хотите рассмотреть примеры применения этой теоремы, не стесняйтесь спрашивать!