Теорема Ролля сформулирована верно, но давайте разберем ее более подробно, чтобы понять, что она означает и при каких условиях она справедлива.

Условия теоремы Ролля:

• Функция должна быть непрерывной на замкнутом отрезке [a, b]. Это означает, что функция не имеет разрывов на этом отрезке.
• Функция должна быть дифференцируемой на открытом интервале (a, b). Это значит, что производная функции существует в каждой точке этого интервала.
• Значения функции в концах отрезка должны быть равны: f(a) = f(b). Это ключевое условие, которое отличает теорему Ролля от других теорем о производных.

Что утверждает теорема:

Если все вышеперечисленные условия выполнены, то существует хотя бы одна точка c в интервале (a, b),такая что производная функции в этой точке равна нулю, то есть f'(c) = 0.

Пример:

Рассмотрим функцию f(x) = x^2 на отрезке [1, 1]. Эта функция:

• Непрерывна на [1, 1] (поскольку она является полиномиальной).
• Дифференцируема на (1, 1) (производная f'(x) = 2x существует для всех x).
• f(1) = f(1) = 1, то есть значения на концах отрезка равны.

Следовательно, по теореме Ролля, существует точка c, такая что f'(c) = 0. В данном случае, c = 1, и действительно f'(1) = 0.

Таким образом, теорема Ролля является важным результатом в математическом анализе, который помогает понять связь между значениями функции и ее производной. Если хотя бы одно из условий не выполняется, теорема может не сработать.