Верно ли сформирована теорема Ролля: "если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале, то внутри отрезка найдется точка, в которой производная этой функции равна нулю"

• да
• нет

Другие предметы Колледж Теорема Ролля теорема Ролля математический анализ колледж непрерывная функция дифференцируемая функция производная функции точки экстремума Новый

Теорема Ролля сформулирована верно, но давайте разберем ее более подробно, чтобы понять, что она означает и при каких условиях она справедлива.

Условия теоремы Ролля:

• Функция должна быть непрерывной на замкнутом отрезке [a, b]. Это означает, что функция не имеет разрывов на этом отрезке.
• Функция должна быть дифференцируемой на открытом интервале (a, b). Это значит, что производная функции существует в каждой точке этого интервала.
• Значения функции в концах отрезка должны быть равны: f(a) = f(b). Это ключевое условие, которое отличает теорему Ролля от других теорем о производных.

Что утверждает теорема:

Если все вышеперечисленные условия выполнены, то существует хотя бы одна точка c в интервале (a, b), такая что производная функции в этой точке равна нулю, то есть f'(c) = 0.

Пример:

Рассмотрим функцию f(x) = x^2 на отрезке [1, 1]. Эта функция:

• Непрерывна на [1, 1] (поскольку она является полиномиальной).
• Дифференцируема на (1, 1) (производная f'(x) = 2x существует для всех x).
• f(1) = f(1) = 1, то есть значения на концах отрезка равны.

Следовательно, по теореме Ролля, существует точка c, такая что f'(c) = 0. В данном случае, c = 1, и действительно f'(1) = 0.

Таким образом, теорема Ролля является важным результатом в математическом анализе, который помогает понять связь между значениями функции и ее производной. Если хотя бы одно из условий не выполняется, теорема может не сработать.