Для решения этой задачи нам необходимо использовать функцию волновой функции электрона в бесконечно глубоком потенциальном ящике и вычислить вероятность нахождения электрона в заданном интервале.

В бесконечно глубоком потенциальном ящике, где 0 < x < l, волновая функция для возбужденного состояния n задана следующим образом:

ψ_n(x) = sqrt(2/l) * sin(n * π * x / l)

Для n = 2, волновая функция будет выглядеть так:

ψ_2(x) = sqrt(2/l) * sin(2 * π * x / l)

Теперь мы хотим найти вероятность того, что электрон находится в средней трети ящика. Средняя треть ящика будет находиться в интервале от l/3 до 2l/3.

Вероятность нахождения электрона в этом интервале определяется интегралом квадратов модуля волновой функции:

P = ∫(l/3)^(2l/3) |ψ_2(x)|^2 dx

Подставим выражение для волновой функции:

P = ∫(l/3)^(2l/3) |sqrt(2/l) * sin(2 * π * x / l)|^2 dx

Упростим выражение:

P = (2/l) * ∫(l/3)^(2l/3) sin^2(2 * π * x / l) dx

Теперь используем известное свойство интеграла для функции sin^2:

∫ sin^2(ax) dx = (1/2) * x - (1/4a) * sin(2ax) + C

Таким образом, мы можем вычислить интеграл:

1. Сначала найдем интеграл:
2. Подставим пределы интегрирования от l/3 до 2l/3.

После вычисления интеграла, мы получим значение P, которое будет означать вероятность нахождения электрона в средней трети ящика. Не забудьте подставить значения пределов и упростить выражение.

Итак, подводя итог, мы нашли вероятность нахождения электрона в средней трети ящика, используя волновую функцию и интегрирование. Это важный шаг в понимании квантовой механики и поведения частиц в потенциальных ящиках.