Если непрерывная случайная величина задана функцией распределения F(X) = {0, x ≤ 0; x²/16, 0 < x ≤ 4; 1, x> 4, тогда ее математическое ожидание равно …

• 2/3
• 8/3
• 16/3
• 16/3

Другие предметы Колледж Математическое ожидание непрерывной случайной величины специальная математика основы статистики колледж математическое ожидание функция распределения непрерывная случайная величина статистические методы учебный курс подготовка к экзаменам математическая статистика Новый

Для нахождения математического ожидания непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения, необходимо сначала определить её плотность распределения. Плотность распределения f(x) можно получить, взяв производную от функции распределения F(x).

Функция распределения F(x) задана следующим образом:

• F(x) = 0, если x ≤ 0
• F(x) = x²/16, если 0 < x ≤ 4
• F(x) = 1, если x > 4

Теперь найдем плотность распределения f(x):

• Для x ≤ 0: f(x) = 0 (поскольку F(x) постоянна)
• Для 0 < x ≤ 4: f(x) = d/dx (x²/16) = (2x)/16 = x/8
• Для x > 4: f(x) = 0 (поскольку F(x) постоянна)

Таким образом, плотность распределения f(x) выглядит следующим образом:

• f(x) = 0, если x ≤ 0
• f(x) = x/8, если 0 < x ≤ 4
• f(x) = 0, если x > 4

Теперь мы можем вычислить математическое ожидание E(X) случайной величины X, используя формулу:

E(X) = ∫ (x * f(x)) dx

В нашем случае это будет интеграл от 0 до 4, так как f(x) = 0 вне этого интервала:

E(X) = ∫ (x * (x/8)) dx от 0 до 4

Упрощаем интеграл:

E(X) = ∫ (x²/8) dx от 0 до 4

Теперь вычислим интеграл:

E(X) = (1/8) * ∫ (x²) dx от 0 до 4

Интеграл x² равен (x³)/3, поэтому:

E(X) = (1/8) * [(4³)/3 - (0³)/3] = (1/8) * (64/3) = 8/3

Таким образом, математическое ожидание E(X) равно 8/3.

Ответ: 8/3.