Чтобы найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox, ограниченного кривыми y = 4x - x² и y = x, мы воспользуемся методом цилиндрических слоев. Этот метод предполагает интегрирование поперечных сечений тела, которые представляют собой кольца или диски.

Для начала найдем точки пересечения кривых y = 4x - x² и y = x. Приравняем уравнения:

• 4x - x² = x

Приведем уравнение к стандартному виду:

• x² - 3x = 0

Вынесем x за скобки:

• x(x - 3) = 0

Таким образом, x = 0 и x = 3. Это точки пересечения кривых.

Теперь вычислим объем тела вращения. Формула для объема тела, полученного вращением вокруг оси Ox, выглядит следующим образом:

• V = π ∫[a, b] (R(y)² - r(y)²) dy

Где R(y) - радиус внешнего слоя, а r(y) - радиус внутреннего слоя. В нашем случае:

• R(y) = 4x - x²
• r(y) = x

Подставим пределы интегрирования от 0 до 3, так как это точки пересечения кривых.

Теперь найдем разницу квадратов функций:

• (4x - x²)² - (x)²

Раскроем скобки и упростим выражение:

• (16x² - 8x³ + x⁴) - x²
• 15x² - 8x³ + x⁴

Теперь найдем интеграл от 0 до 3:

• V = π ∫[0, 3] (15x² - 8x³ + x⁴) dx

Вычислим интеграл:

1. Интеграл от 15x²: (15/3)x³ = 5x³
2. Интеграл от -8x³: (-8/4)x⁴ = -2x⁴
3. Интеграл от x⁴: (1/5)x⁵ = (1/5)x⁵

Теперь подставим пределы интегрирования:

• V = π [5x³ - 2x⁴ + (1/5)x⁵] от 0 до 3

Подставляем x = 3 и x = 0:

• V = π [5(3)³ - 2(3)⁴ + (1/5)(3)⁵]
• V = π [5(27) - 2(81) + (1/5)(243)]
• V = π [135 - 162 + 48.6]
• V = π [21.6]

Итак, объем тела вращения равен:

• V = 21.6π

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox, составляет 21.6π кубических единиц.