Фигура, образованная путем вращения вокруг оси Oх, ограничена линиями y=4x-x2,y=x. Найдите объем данного тела.

Другие предметы Колледж Объем тел вращения Объём тела вращения математика колледж интегралы графики функций вычисление объёма методы интегрирования Новый

Чтобы найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox, ограниченного кривыми y = 4x - x² и y = x, мы воспользуемся методом цилиндрических слоев. Этот метод предполагает интегрирование поперечных сечений тела, которые представляют собой кольца или диски.

Для начала найдем точки пересечения кривых y = 4x - x² и y = x. Приравняем уравнения:

• 4x - x² = x

Приведем уравнение к стандартному виду:

• x² - 3x = 0

Вынесем x за скобки:

• x(x - 3) = 0

Таким образом, x = 0 и x = 3. Это точки пересечения кривых.

Теперь вычислим объем тела вращения. Формула для объема тела, полученного вращением вокруг оси Ox, выглядит следующим образом:

• V = π ∫[a, b] (R(y)² - r(y)²) dy

Где R(y) - радиус внешнего слоя, а r(y) - радиус внутреннего слоя. В нашем случае:

• R(y) = 4x - x²
• r(y) = x

Подставим пределы интегрирования от 0 до 3, так как это точки пересечения кривых.

Теперь найдем разницу квадратов функций:

• (4x - x²)² - (x)²

Раскроем скобки и упростим выражение:

• (16x² - 8x³ + x⁴) - x²
• 15x² - 8x³ + x⁴

Теперь найдем интеграл от 0 до 3:

• V = π ∫[0, 3] (15x² - 8x³ + x⁴) dx

Вычислим интеграл:

1. Интеграл от 15x²: (15/3)x³ = 5x³
2. Интеграл от -8x³: (-8/4)x⁴ = -2x⁴
3. Интеграл от x⁴: (1/5)x⁵ = (1/5)x⁵

Теперь подставим пределы интегрирования:

• V = π [5x³ - 2x⁴ + (1/5)x⁵] от 0 до 3

Подставляем x = 3 и x = 0:

• V = π [5(3)³ - 2(3)⁴ + (1/5)(3)⁵]
• V = π [5(27) - 2(81) + (1/5)(243)]
• V = π [135 - 162 + 48.6]
• V = π [21.6]

Итак, объем тела вращения равен:

• V = 21.6π

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox, составляет 21.6π кубических единиц.