Вычислить объём тела, ограниченного данными поверхностями
z=x²+y²; z²=x²+y²

• 4,5
• 2π
• π/6
  
• 1

Другие предметы Колледж Объем тел вращения Объём тела ограниченные поверхности вычисление объёма математика колледж z=x²+y² z²=x²+y² интегралы многомерные функции Новый

Для нахождения объема тела, ограниченного поверхностями z = x² + y² и z² = x² + y², нам необходимо понять, что эти поверхности представляют собой. Первая поверхность, z = x² + y², является параболическим параболоидом, а вторая поверхность, z² = x² + y², представляет собой конус.

Теперь давайте разберем шаги для вычисления объема данного тела.

1. Определение границ интегрирования:
   • Мы должны найти точки пересечения этих двух поверхностей. Для этого подставим z из первой поверхности во вторую.
   • Подставляем: (x² + y²)² = x² + y². Раскроем скобки: x⁴ + 2x²y² + y⁴ = x² + y².
   • Переносим все в одну сторону: x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x² - y² = 0.
   • Это уравнение можно решить, но проще будет воспользоваться полярными координатами для упрощения вычислений.
2. Переход к полярным координатам:
   • В полярных координатах x = r*cos(θ), y = r*sin(θ), где r - радиус, а θ - угол.
   • Тогда z = r² и z² = r².
   • Теперь у нас есть: z = r² и z² = r², что упрощает анализ.
3. Вычисление объема:
   • Объем можно вычислить с помощью двойного интеграла:
   • V = ∫∫ (z_верх - z_низ) dA, где z_верх = z² и z_низ = z.
   • В нашем случае это будет: V = ∫∫ (r² - r²) r dr dθ, где dA = r dr dθ.
   • Интегрируем по r от 0 до R и по θ от 0 до 2π.

Таким образом, когда мы подставим все данные в интеграл и выполним вычисления, мы получим значение объема тела, ограниченного данными поверхностями. Не забудьте учитывать правильные пределы интегрирования и правильно вычислить интегралы.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы по конкретным шагам, пожалуйста, дайте знать!