Формула Маклорена для y=sin x с остаточным членом в форме Пеано.

Другие предметы Колледж Ряды Тейлора и Маклорена формула Маклорена y=sin x остаточный член Пеано математический анализ колледж производные приближение функции ряд Тейлора численные методы Новый

Формула Маклорена позволяет представить функцию в виде ряда, который приближает значение функции в некоторой окрестности точки. Для функции y = sin x мы можем использовать разложение в ряд Тейлора (в данном случае, это будет ряд Маклорена, так как мы разлагаем функцию в точке 0).

Шаги для нахождения разложения функции y = sin x:

1. Найдем производные функции:
   • f(x) = sin x, f(0) = sin(0) = 0
   • f'(x) = cos x, f'(0) = cos(0) = 1
   • f''(x) = -sin x, f''(0) = -sin(0) = 0
   • f'''(x) = -cos x, f'''(0) = -cos(0) = -1
   • f''''(x) = sin x, f''''(0) = sin(0) = 0
   • f'''''(x) = cos x, f'''''(0) = cos(0) = 1
   • и так далее.
2. Запишем ряд Маклорена:
   • f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + f''''(0)x⁴/4! + ...
   • Подставляя найденные значения производных, получаем:
   • y = 0 + 1*x + 0*x²/2! - 1*x³/3! + 0*x⁴/4! + 1*x⁵/5! - ...
3. Соберем все члены:
   • y = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

Таким образом, ряд Маклорена для функции y = sin x выглядит следующим образом:

y = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

Теперь добавим остаточный член в форме Пеано. Остаточный член Rn(x) в разложении Тейлора можно выразить как:

Rn(x) = f^(n+1)(c) * x^(n+1) / (n+1)!

где c – это некоторое значение между 0 и x, а f^(n+1)(c) – (n+1)-я производная функции sin x в точке c. Для функции sin x производные чередуются между значениями 0, 1 и -1.

Таким образом, остаточный член можно записать как:

Rn(x) = O(x^(n+1))

Это означает, что остаточный член стремится к нулю быстрее, чем x^(n+1) при x стремящемся к 0.

В итоге, формула Маклорена для функции y = sin x с остаточным членом в форме Пеано выглядит следующим образом:

y = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ... + O(x^(n+1))