Похожие вопросы
2025-02-24 00:21:52
Найдите интервал сходимости ряда x / 3! + x² / 4! + x³ / 5! + … + xⁿ / (n + 2)! + …
Другие предметы Колледж Ряды Тейлора и Маклорена интервал сходимости математический анализ ряд колледж факториал последовательности пределы функции обучение математике
2025-07-19 09:05:56
Для нахождения интервала сходимости данного ряда, сначала рассмотрим его общий член: an = xⁿ / (n + 2)!. Чтобы определить интервал сходимости, применим признак Д'Аламбера (или признак отношения).
- Запишем отношение последовательных членов ряда:
an+1 / an = (xn+1 / (n + 3)!) / (xⁿ / (n + 2)!) = (xn+1 * (n + 2)!) / (xⁿ * (n + 3)!)
- Упростим выражение:
an+1 / an = x * (n + 2)! / (n + 3)! = x / (n + 3)
- Теперь найдем предел этого отношения при n → ∞:
lim (n → ∞) |an+1 / an| = lim (n → ∞) |x / (n + 3)| = 0
- Так как этот предел равен 0, который меньше 1, ряд сходится для любого значения x.
Таким образом, ряд сходится при любом значении x, и его интервал сходимости - это вся числовая ось, то есть (-∞, ∞).
