Чтобы определить, является ли функция f(x, y) = 2xy / (x² + y²) однородной, неоднородной или условной, давайте разберем, что это означает.

• Однородная функция - это функция, которая удовлетворяет условию f(tx, ty) = t^n * f(x, y) для некоторого n и всех t > 0.
• Неоднородная функция - это функция, которая не удовлетворяет вышеуказанному условию.
• Условная функция - это функция, которая может иметь ограничения, например, определенные значения переменных.

Теперь давайте проверим, является ли данная функция однородной:

1. Подставим tx и ty в функцию:
2. f(tx, ty) = 2(tx)(ty) / ((tx)² + (ty)²) = 2t²xy / (t²x² + t²y²) = 2t²xy / (t²(x² + y²))
3. Упростим это выражение:
4. f(tx, ty) = (2xy / (x² + y²)) = f(x, y)

Таким образом, мы видим, что f(tx, ty) = f(x, y), что не соответствует форме t^n * f(x, y) для некоторого n, так как t² в числителе и t² в знаменателе сокращаются.

Следовательно, функция f(x, y) не является однородной.

Теперь проверим, является ли функция условной. В данном случае функция f(x, y) определена для всех (x, y), где x² + y² ≠ 0, то есть, где (x, y) не равны (0, 0). Это говорит о том, что у функции есть условие на значение переменных.

Таким образом, мы можем сделать вывод:

Функция f(x, y) = 2xy / (x² + y²) является условной.