Чтобы определить, какое из предложений грамматически правильное, необходимо внимательно проанализировать каждое из них с точки зрения синтаксиса и согласования частей речи.
- Путешествуя по бескрайней дальневосточной тайге, пришла пора опубликовать свои дорожные наблюдения.
В этом предложении наблюдается ошибка в согласовании подлежащего и сказуемого. Сказуемое "пришла пора" не может согласовываться с обстоятельством "Путешествуя". Здесь отсутствует подлежащее, к которому могло бы относиться сказуемое. Поэтому это предложение некорректно.
- Путешествуя по бескрайней дальневосточной тайге, дается описание рельефа Приморья и горной системы Сихотэ-Алиня.
В этом предложении также есть ошибка. Обстоятельственное выражение "Путешествуя по бескрайней дальневосточной тайге" не может быть подлежащим для сказуемого "дается". Нет логической связи между двумя частями. Это предложение тоже является неправильным.
- Путешествуя по бескрайней дальневосточной тайге, географ В. Арсеньев изучал богатейшие флору и фауну этого края.
В этом предложении подлежащее "географ В. Арсеньев" правильно связано с сказуемым "изучал". Обстоятельство "Путешествуя по бескрайней дальневосточной тайге" указывает на то, в каком контексте происходило изучение. Это предложение является грамматически правильным.
- Путешествуя по бескрайней дальневосточной тайге, уже стемнело.
Здесь также наблюдается ошибка в согласовании. "Уже стемнело" не может быть связано с обстоятельственным выражением "Путешествуя по бескрайней дальневосточной тайге", так как нет подлежащего, к которому бы относилось сказуемое. Это предложение тоже неправильное.
Таким образом, правильным является третье предложение: "Путешествуя по бескрайней дальневосточной тайге, географ В. Арсеньев изучал богатейшие флору и фауну этого края."