Похожие вопросы
2025-08-25 00:15:31
Какие из следующих равенств справедливы для всех множеств A, B и C
- (A B) ∪ B = A
- (A ∩ B) C = A ∩ (B C)
- (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)
- (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Другие предметы Колледж Теория множеств дискретная математика Множества равенства колледж теоремы операции над множествами объединение пересечение свойства множеств Новый
2025-08-25 00:15:40
Чтобы определить, какие из предложенных равенств верны для всех множеств A, B и C, давайте рассмотрим каждое из них по отдельности. Мы будем использовать свойства операций над множествами: объединение (∪) и пересечение (∩).
-
(A B) ∪ B = A
Это равенство не является верным. Рассмотрим контрпример: пусть A = {1}, B = {2}. Тогда (A B) = {1, 2}, и (A B) ∪ B = {1, 2}. Однако A = {1}, что не равно {1, 2}.
-
(A ∩ B) C = A ∩ (B C)
Это равенство также неверно. Для контрпримера возьмем A = {1}, B = {2}, C = {3}. Тогда (A ∩ B) = ∅, и (A ∩ B) C = ∅. С другой стороны, (B C) = {2, 3}, и A ∩ (B C) = ∅. В данном случае обе стороны равенства равны, но это не всегда так.
-
(A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)
Это равенство неверно. Рассмотрим A = {1}, B = {2}, C = {3}. Тогда (A ∩ B) = ∅, и (A ∩ B) ∪ C = {3}. С другой стороны, (B ∪ C) = {2, 3}, и A ∩ (B ∪ C) = ∅. В данном случае обе стороны равенства не равны.
-
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Это равенство верно и является одним из законов дистрибутивности для множеств. Мы можем проверить это с помощью распределительного закона: левая сторона представляет собой элементы, которые принадлежат C и либо A, либо B, а правая сторона включает элементы, которые принадлежат C и A, или C и B. Они равны.
Таким образом, из предложенных равенств верным является только последнее: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
