Чтобы определить, какими свойствами обладает бинарное отношение R над множеством {a, b, c}, заданное как R = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c)}, мы рассмотрим каждое из перечисленных свойств:

1. Рефлексивность:

   Отношение называется рефлексивным, если для каждого элемента x из множества существует пара (x, x) в отношении. В нашем случае множество {a, b, c} содержит элементы a, b и c.

   • Пара (a, a) присутствует в R.
   • Пара (b, b) присутствует в R.
   • Пара (c, c) присутствует в R.

   Таким образом, отношение R является рефлексивным.

2. Симметричность:

   Отношение называется симметричным, если для каждой пары (x, y) в отношении также существует пара (y, x). Проверим пары:

   • Пара (a, b) присутствует, и пара (b, a) тоже есть. Это условие выполняется.
   • Пары (a, a), (b, b), (c, c) сами себе симметричны.

   Таким образом, отношение R является симметричным.

3. Антисимметричность:

   Отношение называется антисимметричным, если для всех пар (x, y) и (y, x) в отношении, если x ≠ y, то такие пары не могут одновременно существовать. Проверим пары:

   • Существуют пары (a, b) и (b, a), где a ≠ b. Это нарушает условие антисимметричности.

   Таким образом, отношение R не является антисимметричным.

4. Транзитивность:

   Отношение называется транзитивным, если для любых пар (x, y) и (y, z), если они существуют, то существует и пара (x, z). Проверим:

   • Пары (a, b) и (b, a) существуют, но пары (a, a) уже есть, так что условие выполняется.
   • Пары (b, a) и (a, b) существуют, но пары (b, b) уже есть, так что условие выполняется.

   Таким образом, отношение R является транзитивным.

В итоге, отношение R над множеством {a, b, c} обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, но не является антисимметричным.