Чтобы определить, какими свойствами обладает бинарное отношение R, заданное на множестве [a, b, c], необходимо проверить его на симметричность, транзитивность, рефлексивность и антисимметричность. Давайте рассмотрим каждое из этих свойств по отдельности:

1. Рефлексивность: Отношение R называется рефлексивным, если для каждого элемента x из множества [a, b, c] выполняется (x, x) ∈ R. Проверим это свойство:
   • (a, a) ∈ R
   • (b, b) ∈ R
   • (c, c) ∈ R

   Поскольку все элементы имеют соответствующие парные отношения с самими собой, отношение R является рефлексивным.

2. Симметричность: Отношение R называется симметричным, если для каждого (x, y) ∈ R выполняется (y, x) ∈ R. Проверим это свойство:
   • (a, c) ∈ R, но (c, a) ∉ R
   • (c, b) ∈ R, но (b, c) ∉ R
   • Также (a, b) ∈ R, но (b, a) ∉ R

   Поскольку мы нашли пары, для которых симметричное отношение отсутствует, отношение R не симметрично.

3. Транзитивность: Отношение R называется транзитивным, если для любых (x, y) ∈ R и (y, z) ∈ R выполняется (x, z) ∈ R. Проверим это свойство:
   • (a, c) ∈ R и (c, b) ∈ R, следовательно, (a, b) ∈ R, что выполняется.

   Других пар, которые нарушают транзитивность, нет. Таким образом, отношение R является транзитивным.

4. Антисимметричность: Отношение R называется антисимметричным, если для любых (x, y) ∈ R и (y, x) ∈ R, где x ≠ y, выполняется, что x = y. Проверим это свойство:
   • Поскольку нет пар (x, y) и (y, x) для x ≠ y, которые одновременно принадлежат отношению R, свойство антисимметричности не нарушается.

   Отношение R является антисимметричным.

Таким образом, отношение R является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным, но не является симметричным.