Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как y'' - 4y' = 10, мы используем метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения.
Шаги решения:
1. **Найдите общее решение соответствующего однородного уравнения.**
Рассмотрим однородное уравнение, связанное с данным:
y'' - 4y' = 0.
Характеристическое уравнение для этого дифференциального уравнения будет:
r^2 - 4r = 0.
Решим это уравнение:
r(r - 4) = 0,
отсюда r = 0 и r = 4.
Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_h = C_1 + C_2 * e^(4x),
где C_1 и C_2 - произвольные постоянные.
2. **Предположите вид частного решения.**
Для нахождения частного решения y_p неоднородного уравнения y'' - 4y' = 10, мы используем метод неопределенных коэффициентов. Поскольку правая часть уравнения - это постоянная 10, предполагаем, что частное решение имеет вид:
y_p = A,
где A - неизвестный коэффициент, который нужно определить.
3. **Найдите производные частного решения.**
Поскольку y_p = A, то:
y'_p = 0 и y''_p = 0.
4. **Подставьте частное решение и его производные в исходное уравнение.**
Подставим y_p, y'_p и y''_p в уравнение:
0 - 4(0) = 10,
что упрощается до 0 = 10.
Это уравнение не имеет смысла, поэтому мы должны пересмотреть наш подход. Видимо, изначальное предположение о виде частного решения было неверным. Поскольку у нас постоянная правая часть, предположим линейную функцию:
y_p = Ax.
5. **Подставьте линейное частное решение в уравнение.**
Найдем производные:
y'_p = A и y''_p = 0.
Подставим в уравнение:
0 - 4A = 10.
Решим для A:
-4A = 10,
A = -10/4,
A = -2.5.
Таким образом, частное решение будет:
y_p = -2.5x.
6. **Запишите общее решение неоднородного уравнения.**
Общее решение уравнения y'' - 4y' = 10 будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:
y = y_h + y_p = C_1 + C_2 * e^(4x) - 2.5x.
Таким образом, частное решение уравнения имеет вид y_p = -2.5x.
