Для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, такого как:

y'' + 4y' = 10x^2 + 1

мы будем использовать метод неопределенных коэффициентов.

Шаг 1: Определение формы частного решения.

Поскольку правая часть уравнения имеет вид 10x^2 + 1, мы предполагаем, что частное решение будет полиномом второй степени. Таким образом, мы можем записать:

y̅ = Ax^2 + Bx + C

где A, B и C - это неопределенные коэффициенты, которые мы найдем позже.

Шаг 2: Вычисление производных.

Теперь найдем первую и вторую производные нашего предполагаемого решения:

• Первая производная: y̅' = 2Ax + B
• Вторая производная: y̅'' = 2A

Шаг 3: Подстановка в уравнение.

Теперь подставим y̅, y̅' и y̅'' в исходное уравнение:

2A + 4(2Ax + B) = 10x^2 + 1

Раскроем скобки:

2A + 8Ax + 4B = 10x^2 + 1

Шаг 4: Сравнение коэффициентов.

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x с правой и левой стороны уравнения:

• При x^2: 0 = 10 (коэффициент при x^2 слева равен 0, справа - 10)
• При x: 8A = 0 (коэффициент при x слева равен 8A, справа - 0)
• При свободном члене: 2A + 4B = 1

Шаг 5: Решение системы уравнений.

Теперь мы можем решить систему уравнений:

1. Из уравнения 8A = 0 следует, что A = 0.
2. Подставляем A = 0 в уравнение 2A + 4B = 1: 2(0) + 4B = 1, отсюда B = 1/4.
3. Поскольку у нас нет свободного члена в правой части уравнения, мы можем выбрать C = 0.

Таким образом, мы получаем:

A = 0, B = 1/4, C = 0

Шаг 6: Запись частного решения.

Теперь можем записать частное решение:

y̅ = 0*x^2 + (1/4)*x + 0 = (1/4)x

Таким образом, частное решение уравнения:

y̅ = (1/4)x