Линейное неоднородное дифференциальное уравнение y''+4y'=10x2+1 имеет частное решение с неопределенными коэффициентами вида …

• y̅ = Ax² + Bx + C
• y̅ = Ax
• y̅ = x + 10

Другие предметы Колледж Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка линейное неоднородное уравнение частное решение неопределенные коэффициенты Дифференциальные уравнения математика колледж Новый

Для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, такого как:

y'' + 4y' = 10x^2 + 1

мы будем использовать метод неопределенных коэффициентов.

Шаг 1: Определение формы частного решения.

Поскольку правая часть уравнения имеет вид 10x^2 + 1, мы предполагаем, что частное решение будет полиномом второй степени. Таким образом, мы можем записать:

y̅ = Ax^2 + Bx + C

где A, B и C - это неопределенные коэффициенты, которые мы найдем позже.

Шаг 2: Вычисление производных.

Теперь найдем первую и вторую производные нашего предполагаемого решения:

• Первая производная: y̅' = 2Ax + B
• Вторая производная: y̅'' = 2A

Шаг 3: Подстановка в уравнение.

Теперь подставим y̅, y̅' и y̅'' в исходное уравнение:

2A + 4(2Ax + B) = 10x^2 + 1

Раскроем скобки:

2A + 8Ax + 4B = 10x^2 + 1

Шаг 4: Сравнение коэффициентов.

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x с правой и левой стороны уравнения:

• При x^2: 0 = 10 (коэффициент при x^2 слева равен 0, справа - 10)
• При x: 8A = 0 (коэффициент при x слева равен 8A, справа - 0)
• При свободном члене: 2A + 4B = 1

Шаг 5: Решение системы уравнений.

Теперь мы можем решить систему уравнений:

1. Из уравнения 8A = 0 следует, что A = 0.
2. Подставляем A = 0 в уравнение 2A + 4B = 1: 2(0) + 4B = 1, отсюда B = 1/4.
3. Поскольку у нас нет свободного члена в правой части уравнения, мы можем выбрать C = 0.

Таким образом, мы получаем:

A = 0, B = 1/4, C = 0

Шаг 6: Запись частного решения.

Теперь можем записать частное решение:

y̅ = 0*x^2 + (1/4)*x + 0 = (1/4)x

Таким образом, частное решение уравнения:

y̅ = (1/4)x