Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, как изменяются кинетическая и потенциальная энергия математического маятника в процессе его колебания. Математический маятник — это идеализированная модель, представляющая собой материальную точку, подвешенную на нерастяжимой нити. Мы будем считать, что отклонение маятника происходит на небольшой угол, что позволяет использовать приближение для малых углов.

Основные шаги решения задачи:

1. Определение уравнений движения: Для малых углов отклонения уравнение движения маятника можно записать как: θ(t) = θ₀ * cos(ωt), где θ₀ — начальный угол отклонения, ω — угловая частота, равная sqrt(g/L), g — ускорение свободного падения, L — длина нити.
2. Потенциальная энергия: Потенциальная энергия маятника в любой момент времени определяется как U(t) = mgh, где h — высота подъема, m — масса маятника, g — ускорение свободного падения. Для малых углов h ≈ L(1 - cos(θ)).
3. Кинетическая энергия: Кинетическая энергия маятника определяется как K(t) = 0.5 * m * v², где v — скорость маятника. Скорость связана с угловой скоростью: v = L * ω * sin(ωt).
4. Уравнение равенства энергий: Нам нужно найти момент времени, когда кинетическая энергия становится равной потенциальной энергии: K(t) = U(t).
5. Решение уравнения: Подставим выражения для кинетической и потенциальной энергии и решим уравнение:

• Запишем условие равенства: 0.5 * m * (L * ω * sin(ωt))² = m * g * L(1 - cos(θ₀ * cos(ωt))).
• Упростим уравнение, сократив массу m и длину L: 0.5 * ω² * sin²(ωt) = g * (1 - cos(θ₀ * cos(ωt))).
• Поскольку мы рассматриваем малые углы, можем использовать приближение cos(θ) ≈ 1 - θ²/2 и sin²(θ) ≈ θ².
• Решив это уравнение, мы получим, что ωt = π/4.

Таким образом, время, через которое кинетическая энергия станет равной потенциальной, равно t = (π/4) / ω. Подставляя значение угловой частоты ω = sqrt(g/L), получаем t = (π/4) * sqrt(L/g).