Модели авторегрессии являются одним из основных инструментов анализа временных рядов. Давайте разберем, что это за модели и как они работают.

Определение: Авторегрессионная модель (AR-модель) – это модель, которая предсказывает значение временного ряда на основе его предыдущих значений. То есть, текущее значение ряда зависит от его прошлых значений.

Характеристики авторегрессионных моделей:

• Зависимость от прошлых значений: Основная идея авторегрессионных моделей заключается в том, что текущее значение временного ряда является линейной комбинацией нескольких предыдущих значений. Это делает их полезными для прогнозирования временных рядов, которые имеют тенденцию к автокорреляции.
• Порядок модели: Порядок авторегрессионной модели обозначается как AR(p), где p – это количество предыдущих значений, которые используются для предсказания текущего значения. Например, AR(1) использует только одно предыдущее значение, AR(2) – два, и так далее.
• Параметры модели: Модель имеет коэффициенты, которые определяют вклад каждого предыдущего значения в прогнозируемое значение. Эти коэффициенты вычисляются на основе данных временного ряда.
• Стационарность: Для корректного применения авторегрессионных моделей временной ряд должен быть стационарным, то есть его статистические свойства (например, среднее и дисперсия) не должны изменяться со временем.

Пример: Рассмотрим простую модель AR(1), где текущее значение временного ряда Y_t зависит от предыдущего значения Y_(t-1) и случайной ошибки e_t:

Y_t = φ * Y_(t-1) + e_t

Здесь φ – это коэффициент, который показывает степень зависимости текущего значения от предыдущего. Если φ = 0.5, это означает, что текущее значение составляет половину от предыдущего плюс случайная ошибка.

Таким образом, авторегрессионные модели полезны для анализа данных, которые демонстрируют временную зависимость, и их можно использовать для прогнозирования будущих значений на основе прошлых данных.