Похожие вопросы
2025-03-10 22:21:03
Найдите интеграл ∫ dx / sin²(2x + 5)
Другие предметы Колледж Интегрирование тригонометрических функций интеграл математический анализ колледж ∫ dx / sin²(2x + 5) решение интеграла тригонометрические функции методы интегрирования
2025-07-19 16:08:50
Чтобы найти интеграл ∫ dx / sin²(2x + 5), мы можем воспользоваться тригонометрическими преобразованиями и методами интегрирования. В данном случае удобно использовать подстановку и известные интегралы тригонометрических функций. Давайте шаг за шагом решим этот интеграл:
-
Подстановка: Начнем с подстановки, чтобы упростить выражение. Пусть u = 2x + 5. Тогда производная du/dx = 2, отсюда dx = du/2.
-
Замена переменных: Заменим переменные в интеграле: ∫ dx / sin²(2x + 5) = ∫ (1/2) du / sin²(u).
-
Использование тригонометрической идентичности: Вспомним, что 1/sin²(u) = csc²(u). Таким образом, интеграл превращается в (1/2) ∫ csc²(u) du.
-
Интегрирование: Интеграл от csc²(u) равен -cot(u). Поэтому (1/2) ∫ csc²(u) du = (1/2)(-cot(u)) + C, где C — константа интегрирования.
-
Возвращение к переменной x: Теперь заменим u обратно на 2x + 5: (1/2)(-cot(2x + 5)) + C.
Таким образом, окончательный ответ: -1/2 * cot(2x + 5) + C.
