Найдите интервал сходимости ряда x / 3! + x² / 4! + x³ / 5! + … + xⁿ / (n + 2)! + …

1. (−∞; +∞)
2. (−∞; 0)
3. 0
4. (0; +∞)

Другие предметы Колледж Ряды Тейлора и степенные ряды интервал сходимости ряд высшая математика колледж математический анализ факториал последовательности пределы изучение рядов конвергенция рядов Новый

Чтобы найти интервал сходимости данного ряда, давайте рассмотрим его общий член, который можно записать как:

a_n = x^n / (n + 2)!

Для определения интервала сходимости мы воспользуемся радиусом сходимости. Для этого применим тест Даламбера (или тест отношения), который говорит, что если существует предел:

L = lim (n → ∞) |a_(n+1) / a_n|

и если L < 1, то ряд сходится; если L > 1, то ряд расходится; если L = 1, то тест не дает определенного ответа.

Теперь вычислим этот предел:

1. Найдём a_(n+1):

a_(n+1) = x^(n+1) / ((n + 3)!)

2. Теперь вычислим отношение |a_(n+1) / a_n|:

|a_(n+1) / a_n| = |(x^(n+1) / ((n + 3)!)) / (x^n / ((n + 2)!))|

Это можно упростить:

|a_(n+1) / a_n| = |x| * (n + 2)! / (n + 3)! = |x| / (n + 3)

3. Теперь найдем предел:

L = lim (n → ∞) |x| / (n + 3) = 0

Так как L = 0, это меньше 1 для любого значения x. Это означает, что ряд сходится для всех x.

Таким образом, интервал сходимости данного ряда:

(−∞; +∞)

Следовательно, правильный ответ - интервал сходимости: (−∞; +∞).