Найдите общее решение уравнения (x + y)dx + xdy = 0

Другие предметы Колледж Общее решение дифференциальных уравнений математический анализ общее решение уравнение колледж Дифференциальные уравнения методы решения интегралы функции переменные учебный материал Новый

Чтобы решить уравнение (x + y)dx + xdy = 0, начнем с его приведения к стандартному виду. Мы можем переписать уравнение в следующем виде:

(x + y)dx + xdy = 0

Это уравнение можно разделить на dx:

dx + (x/y + 1)dy = 0

Теперь мы можем выразить dy через dx:

dy = -((x + y)/x)dx

Теперь давайте попробуем использовать метод разделения переменных. Для этого мы можем переписать уравнение в виде:

dy/dx = -((x + y)/x)

Теперь мы можем разделить переменные:

dy/(x + y) = -dx/x

Теперь мы можем интегрировать обе стороны. Начнем с левой стороны:

∫(1/(x + y)) dy

Это интеграл, который равен ln|x + y|. Теперь интегрируем правую сторону:

∫(-1/x) dx = -ln|x|

После интегрирования мы получаем:

ln|x + y| = -ln|x| + C

Где C - произвольная постоянная. Теперь мы можем избавиться от логарифмов, возведя обе стороны в степень:

|x + y| = e^{-ln|x| + C} = |x|^{-1}e^C

Пусть K = e^C, тогда:

|x + y| = K/|x|

Теперь мы можем выразить общее решение:

x + y = ±K/x

Общее решение уравнения имеет вид:

x + y = C/x

где C - произвольная постоянная. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.