Общим решением уравнения y'-yctgx=sinx является

• y=(x+C)sinx
• y=sinx+C
• y=C
• y=Cx+ctgx

Другие предметы Колледж Общее решение дифференциальных уравнений математический анализ уравнение общее решение колледж Дифференциальные уравнения синус контекстное значение функции графики учебный материал Новый

Давайте разберем уравнение y' - y * ctg(x) = sin(x) и найдем его общее решение. Мы будем следовать пошагово, чтобы объяснить процесс решения.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Уравнение y' - y * ctg(x) = sin(x) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы можем переписать его в стандартном виде:

y' + P(x)y = Q(x), где P(x) = -ctg(x) и Q(x) = sin(x).

Шаг 2: Определение интегрирующего множителя

Для решения линейного уравнения мы используем интегрирующий множитель, который определяется как:

mu(x) = e^(∫P(x)dx).

В нашем случае:

P(x) = -ctg(x) = -cos(x)/sin(x).

Интегрируем P(x): ∫P(x)dx = ∫-ctg(x)dx = -ln|sin(x)| = ln|sin(x)|^(-1).

Таким образом, интегрирующий множитель будет:

mu(x) = e^(ln|sin(x)|^(-1)) = 1/sin(x).

Шаг 3: Умножение уравнения на интегрирующий множитель

Теперь умножим всё уравнение на mu(x):

(1/sin(x))y' - (1/sin(x))y * ctg(x) = (1/sin(x))sin(x).

Это упростится до:

(1/sin(x))y' - y/cos(x) = 1.

Шаг 4: Применение интегрирующего множителя

Теперь мы можем записать левую часть как производную:

(d/dx)(y/sin(x)) = 1.

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(d/dx)(y/sin(x))dx = ∫1dx.

Это дает:

y/sin(x) = x + C, где C - произвольная константа.

Шаг 5: Найдем общее решение

Перемножим обе стороны на sin(x):

y = (x + C)sin(x).

Шаг 6: Проверка решения

Мы можем проверить, подставив найденное решение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно удовлетворяет уравнению:

Подставляем y = (x + C)sin(x) в уравнение y' - y * ctg(x) = sin(x) и проверяем, что оно выполняется.

Таким образом, общее решение уравнения y' - y * ctg(x) = sin(x) имеет вид:

y = (x + C)sin(x), где C - произвольная константа.