Найдите производную функции f(t) = ln(2cos t)

1. −tgt
2. tgt
3. 1/2 ⋅ tgt

Другие предметы Колледж Производные и дифференцирование функций производная функции высшая математика колледж ln(2cos t) tg тригонометрические функции дифференцирование учебник высшей математики Новый

Чтобы найти производную функции f(t) = ln(2cos t) - tg(t) * tg(1/2) * tg(t), мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило производной сложной функции, а также производные стандартных функций.

Шаг 1: Найдем производную первой части функции, ln(2cos t).

• Используем правило производной логарифмической функции: d/dx(ln(u)) = 1/u * du/dx.
• В нашем случае u = 2cos t, тогда du/dt = -2sin t.
• Следовательно, производная будет: d/dt(ln(2cos t)) = 1/(2cos t) * (-2sin t) = -sin t / cos t = -tan t.

Шаг 2: Найдем производную второй части функции, -tg(t) * tg(1/2) * tg(t).

• tg(1/2) — это константа, и мы можем вынести ее за знак производной.
• Используем правило произведения: d/dx(u*v) = u'v + uv'.
• Обозначим u = tg(t) и v = tg(1/2) * tg(t).
• Тогда производная будет: -tg(1/2) * (d/dt(tg(t)) * tg(t) + tg(t) * d/dt(tg(t))).
• Зная, что d/dt(tg(t)) = sec^2(t), получаем: -tg(1/2) * (sec^2(t) * tg(t) + tg(t) * sec^2(t)).

Шаг 3: Объединим все части вместе:

• Производная f'(t) = -tan t - tg(1/2) * (sec^2(t) * tg(t) + tg(t) * sec^2(t)).
• Это можно упростить, но для начала запишем в таком виде.

Итак, окончательный ответ:

f'(t) = -tan t - tg(1/2) * (2 * sec^2(t) * tg(t)).