Чтобы решить интеграл ∫ x²sin(3x³)dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Давайте рассмотрим шаги этого метода.

Шаг 1: Выбор u и dv

Для интегрирования по частям мы выбираем:

• u = x² (тогда du = 2x dx)
• dv = sin(3x³)dx

Теперь найдем v, интегрируя dv:

Для этого нам нужно использовать подстановку. Положим t = 3x³, тогда dt = 9x²dx, или dx = dt/(9x²).

Таким образом, мы можем выразить dv:

dv = sin(t) * (dt/(9x²)) = (1/9)sin(t)dt.

Интегрируя, получаем:

v = -(1/9)cos(t) = -(1/9)cos(3x³).

Шаг 2: Применение формулы интегрирования по частям

Теперь применяем формулу:

∫u dv = uv - ∫v du

Подставляем найденные значения:

∫ x²sin(3x³)dx = x² * (-(1/9)cos(3x³)) - ∫ (-(1/9)cos(3x³)) * (2x dx).

Упрощаем это выражение:

= - (1/9)x²cos(3x³) + (2/9)∫ xcos(3x³)dx.

Шаг 3: Интегрирование второго интеграла

Для ∫ xcos(3x³)dx мы снова применим метод интегрирования по частям:

• u = x, du = dx
• dv = cos(3x³)dx.

Снова используем ту же подстановку t = 3x³, dt = 9x²dx, и находим v:

v = (1/9)sin(3x³).

Теперь используем формулу интегрирования по частям:

∫ xcos(3x³)dx = x * (1/9)sin(3x³) - ∫ (1/9)sin(3x³)dx.

Интегрируем последний интеграл:

∫ sin(3x³)dx = - (1/9)cos(3x³).

Теперь подставим всё обратно:

∫ xcos(3x³)dx = (1/9)xsin(3x³) + (1/81)cos(3x³).

Шаг 4: Собираем всё вместе

Теперь вернемся к нашему первому интегралу:

∫ x²sin(3x³)dx = - (1/9)x²cos(3x³) + (2/9)((1/9)xsin(3x³) + (1/81)cos(3x³)).

Упрощаем это выражение, и в итоге получаем:

∫ x²sin(3x³)dx = - (1/9)x²cos(3x³) + (2/81)xsin(3x³) + C.

Из предложенных вариантов, правильный ответ будет:

4) −1/9 ⋅ cos(3x³) + C