Чтобы найти коэффициент при \(x^{10}y^{9}z^{8}\) в разложении выражения \((3x^2 + 5y^3 + 6z^4)^{10}\),мы используем формулу биномиального разложения для многочлена. Это требует понимания того, как распределяются члены в разложении многочлена.

Мы можем представить каждый член разложения как произведение коэффициентов и степеней переменных. В данном случае, мы ищем коэффициент при \(x^{10}y^{9}z^{8}\),что означает, что нам нужно определить, сколько раз каждое слагаемое из выражения \((3x^2)\),\((5y^3)\),и \((6z^4)\) должно быть выбрано, чтобы получить нужные степени.

Разберем шаги:

1. Определение степеней: Мы хотим получить \(x^{10}\),\(y^{9}\),и \(z^{8}\). Это значит, что:
   • Для \(x^{10}\),нам нужно выбрать \(3x^2\) 5 раз, так как \((x^2)^5 = x^{10}\).
   • Для \(y^{9}\),нам нужно выбрать \(5y^3\) 3 раза, так как \((y^3)^3 = y^{9}\).
   • Для \(z^{8}\),нам нужно выбрать \(6z^4\) 2 раза, так как \((z^4)^2 = z^{8}\).
2. Проверка суммы степеней: Сумма всех выбранных раз \(5 + 3 + 2 = 10\),что соответствует степени исходного выражения, \((3x^2 + 5y^3 + 6z^4)^{10}\).
3. Использование биномиального коэффициента: Теперь мы используем биномиальный коэффициент для вычисления количества способов выбрать эти члены. Биномиальный коэффициент для выбора \(5\) раз \(3x^2\),\(3\) раз \(5y^3\),и \(2\) раз \(6z^4\) из 10 возможных мест будет:
   • \(\frac{10!}{5!3!2!}\)
4. Вычисление коэффициента: Коэффициент будет равен произведению биномиального коэффициента и степеней коэффициентов:
   • \(\frac{10!}{5!3!2!}\times (3^5) \times (5^3) \times (6^2)\)
5. Вычисление чисел: Теперь вычислим:
   • \(10! = 3628800\)
   • \(5! = 120\),\(3! = 6\),\(2! = 2\)
   • \((3^5) = 243\),\((5^3) = 125\),\((6^2) = 36\)
   • Биномиальный коэффициент: \(\frac{3628800}{120 \times 6 \times 2}= 2520\)
   • Итак, окончательный коэффициент: \(2520 \times 243 \times 125 \times 36 = 2655312500\)

Таким образом, коэффициент при \(x^{10}y^{9}z^{8}\) в разложении \((3x^2 + 5y^3 + 6z^4)^{10}\) равен \(2655312500\).