Найти коэффициент при x ⁶ y ¹⁰ z ³ в разложении (5x ³ + 3y ² + 2z) ¹⁰

Другие предметы Колледж Комбинаторика и биномиальные коэффициенты дискретная математика колледж коэффициент разложение многочлен алгебра комбинаторика Новый

Чтобы найти коэффициент при x^6 y^10 z^3 в разложении (5x^3 + 3y^2 + 2z)^10, мы будем использовать теорему мног项ника, которая позволяет находить коэффициенты в разложении многочлена.

Шаги решения:

1. Определим общее количество слагаемых: Мы видим, что у нас есть три переменные: x, y и z. Мы будем использовать формулу для нахождения коэффициента при конкретном слагаемом.
2. Определим степени переменных: Нам нужно получить x^6, y^10 и z^3. Обозначим степени, которые мы будем брать из каждого слагаемого:
   • n1 - степень x (из 5x^3): n1 = 6/3 = 2 (то есть мы возьмем 2 слагаемых 5x^3)
   • n2 - степень y (из 3y^2): n2 = 10/2 = 5 (то есть мы возьмем 5 слагаемых 3y^2)
   • n3 - степень z (из 2z): n3 = 3/1 = 3 (то есть мы возьмем 3 слагаемых 2z)
3. Проверим, что сумма степеней равна 10: n1 + n2 + n3 = 2 + 5 + 3 = 10. Это условие выполняется, и мы можем продолжать.
4. Найдем коэффициент: Используем формулу для коэффициента в разложении мног项ника:
   • Коэффициент = C(10, n1, n2, n3) * (коэффициент из 5x^3)^n1 * (коэффициент из 3y^2)^n2 * (коэффициент из 2z)^n3, где C - многократный коэффициент.
5. Вычислим многократный коэффициент: C(10, 2, 5, 3) = 10! / (2! * 5! * 3!)
   • 10! = 3628800
   • 2! = 2
   • 5! = 120
   • 3! = 6
   • Таким образом, C(10, 2, 5, 3) = 3628800 / (2 * 120 * 6) = 2520
6. Вычислим итоговый коэффициент:
   • Коэффициент = 2520 * (5^2) * (3^5) * (2^3)
   • 5^2 = 25
   • 3^5 = 243
   • 2^3 = 8
   • Коэффициент = 2520 * 25 * 243 * 8
7. Посчитаем окончательный результат:
   • 2520 * 25 = 63000
   • 63000 * 243 = 15390000
   • 15390000 * 8 = 123120000

Ответ: Коэффициент при x^6 y^10 z^3 в разложении (5x^3 + 3y^2 + 2z)^10 равен 123120000.