Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения вида \((2x+1)dy + y^2 dx = 0\), нужно следовать следующим шагам: 1. **Приведение уравнения к удобному виду:** Уравнение дано в форме \((2x+1)dy + y^2 dx = 0\). Мы можем переписать его как: \[ (2x+1) \frac{dy}{dx} + y^2 = 0 \] Отсюда выразим \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{2x+1} \] 2. **Разделение переменных:** Чтобы решить это уравнение, применим метод разделения переменных. Перепишем уравнение, чтобы отделить переменные \(y\) и \(x\): \[ \frac{dy}{y^2} = -\frac{dx}{2x+1} \] 3. **Интегрирование обеих частей:** Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения: - Интеграл от \(\frac{dy}{y^2}\) равен \(-\frac{1}{y}\). - Интеграл от \(-\frac{dx}{2x+1}\) равен \(-\ln|2x+1|\). Таким образом, после интегрирования получаем: \[ -\frac{1}{y} = -\ln|2x+1| + C \] где \(C\) — произвольная постоянная интегрирования. 4. **Решение относительно \(y\):** Упростим выражение, чтобы найти \(y\): \[ \frac{1}{y} = \ln|2x+1| + C \] Теперь выразим \(y\): \[ y = \frac{1}{\ln|2x+1| + C} \] Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: \[ y = \frac{1}{\ln|2x+1| + C} \] Это решение показывает зависимость \(y\) от \(x\) через натуральный логарифм и произвольную постоянную \(C\), которая определяется начальными условиями задачи.