Похожие вопросы
2025-08-25 00:30:59
Общее решение уравнения (2x+1)dy+y² dx=0 имеет вид …
- y = ln│2x + 1│ + C
- y = 2 / (ln│2x + 1│ + C)
- y=2
Другие предметы Колледж Общее решение дифференциального уравнения высшая математика колледж общее решение уравнения Дифференциальные уравнения метод решения уравнений математический анализ интегралы функции теория вероятностей линейная алгебра Новый
2025-08-25 00:31:08
Чтобы найти общее решение уравнения (2x+1)dy + y² dx = 0, давайте сначала перепишем его в более удобной форме. Мы можем разделить переменные, чтобы упростить решение.
- Начнем с того, что перепишем уравнение:
- (2x + 1)dy = -y² dx
- Теперь разделим переменные:
- dy/y² = -dx/(2x + 1)
Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения.
- Интегрируем левую сторону:
- ∫(dy/y²) = -1/y + C₁
- Интегрируем правую сторону:
- ∫(-dx/(2x + 1)) = -0.5 ln|2x + 1| + C₂
Объединяя результаты интегрирования, получаем:
-1/y = -0.5 ln|2x + 1| + C
Где C = C₂ - C₁ - произвольная константа.
Теперь, чтобы выразить y, мы можем переместить все в одну сторону:
1/y = 0.5 ln|2x + 1| - C
Или:
y = 1 / (0.5 ln|2x + 1| - C)
Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:
y = 2 / (ln|2x + 1| + C)
Теперь, если мы хотим найти конкретное решение, например, когда y = 2, мы можем подставить это значение в уравнение:
2 = 2 / (ln|2x + 1| + C)
Умножим обе стороны на (ln|2x + 1| + C):
2(ln|2x + 1| + C) = 2
Теперь делим обе стороны на 2:
ln|2x + 1| + C = 1
Таким образом, мы можем выразить C:
C = 1 - ln|2x + 1|
Это дает нам конкретное значение C для данного y. Таким образом, мы можем использовать это значение для нахождения конкретного решения уравнения, если это необходимо.
В заключение, общее решение уравнения (2x + 1)dy + y² dx = 0 имеет вид:
y = 2 / (ln|2x + 1| + C)
