Давайте разберем все вопросы по порядку.

1. Общее уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве можно записать в виде:

A * x + B * y + C * z + D = 0,

где A, B, C и D - некоторые постоянные, а x, y и z - координаты точек в пространстве. Вектор (A, B, C) называется нормальным вектором плоскости, и он перпендикулярен всем векторам, лежащим в этой плоскости.

2. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Две плоскости заданы уравнениями:

A1 * x + B1 * y + C1 * z + D1 = 0 и A2 * x + B2 * y + C2 * z + D2 = 0.

• Параллельность: Плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны. Это значит, что существует ненулевое число k, такое что:

A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 = k.

• Перпендикулярность: Плоскости перпендикулярны, если скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю. То есть:

A1 * A2 + B1 * B2 + C1 * C2 = 0.

3. Вывод формулы для вычисления угла между плоскостями.

Угол между двумя плоскостями определяется углом между их нормальными векторами. Обозначим нормальные векторы плоскостей как N1 = (A1, B1, C1) и N2 = (A2, B2, C2).

Формула для вычисления угла θ между векторами выглядит следующим образом:

cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|),

где • обозначает скалярное произведение векторов, а |N| - длину вектора N.

Таким образом, угол между плоскостями можно найти, используя обратную функцию косинуса:

θ = arccos((N1 • N2) / (|N1| * |N2|)).

4. Вывод уравнения плоскости, проходящей через 3 точки.

Пусть у нас есть три точки в пространстве: A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3). Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, можно выполнить следующие шаги:

1. Сначала найдем два вектора, лежащие в плоскости:
• v1 = B - A = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),
• v2 = C - A = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1).
2. Теперь найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение v1 и v2:

N = v1 × v2.

3. После этого, используя координаты нормального вектора N = (A, B, C) и одну из точек (например, A), можно записать уравнение плоскости:

A * (x - x1) + B * (y - y1) + C * (z - z1) = 0.

Раскрыв скобки, мы получим уравнение плоскости в общем виде.

Таким образом, мы рассмотрели общее уравнение плоскости, условия параллельности и перпендикулярности, формулу для вычисления угла между плоскостями и способ вывода уравнения плоскости, проходящей через три точки.