Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве можно записать в виде:

A*x + B*y + C*z + D = 0,

где A, B и C - коэффициенты, определяющие направление нормали к плоскости, а D - свободный член.

Нормаль к плоскости

Нормаль к плоскости - это вектор, перпендикулярный к данной плоскости. Если у нас есть общее уравнение плоскости A*x + B*y + C*z + D = 0, то нормаль к плоскости будет вектором N = (A, B, C).

Уравнение в отрезках

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:

x/a + y/b + z/c = 1,

где a, b и c - это отрезки, на которые плоскость отсекает оси координат x, y и z соответственно. Это уравнение удобно использовать, когда известны отрезки, на которые плоскость пересекает оси.

Параметрические уравнения плоскости

Параметрические уравнения плоскости можно записать в виде:

• x = x0 + s * v1 + t * v2,
• y = y0 + s * v1 + t * v2,
• z = z0 + s * v1 + t * v2,

где (x0, y0, z0) - точка на плоскости, v1 и v2 - два независимых вектора, лежащих в плоскости, а s и t - параметры.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти два вектора, лежащих в плоскости: AB = B - A и AC = C - A.
2. Вычислить векторное произведение векторов AB и AC, чтобы получить нормаль N к плоскости.
3. Используя координаты нормали N(A, B, C) и одну из точек (например, A), записать общее уравнение плоскости: A*(x - x1) + B*(y - y1) + C*(z - z1) = 0.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки P(x0, y0, z0) до плоскости, заданной уравнением A*x + B*y + C*z + D = 0, можно вычислить по формуле:

Distance = |A*x0 + B*y0 + C*z0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Здесь |...| обозначает модуль (абсолютное значение), а sqrt(...) - квадратный корень.