Операции над векторами (сложение и умножение на число). Базис. Доказать, что люб. вектор представ. в виде лин комб базисных векторов, причем однозначно. Координаты вектора в данном базисе.

Другие предметы Колледж Векторы и операции над ними операции над векторами сложение векторов умножение вектора на число базис векторов линейная комбинация представление вектора координаты вектора линейная алгебра аналитическая геометрия колледж Новый

Давайте разберем, что такое операции над векторами, а затем перейдем к понятиям базиса, линейной комбинации и координатам вектора в данном базисе.

Операции над векторами

Существует две основные операции, которые мы можем выполнять с векторами: сложение и умножение на число (скаляр).

• Сложение векторов: Пусть у нас есть два вектора A и B, тогда их сумма C = A + B определяется по компонентам. Если A = (a1, a2) и B = (b1, b2), то C = (a1 + b1, a2 + b2).
• Умножение на число: Если у нас есть вектор A и скаляр k, то произведение kA = (ka1, ka2). Это означает, что мы умножаем каждую компоненту вектора на число k.

Базис векторов

Базис векторов в пространстве - это набор векторов, которые линейно независимы и могут быть использованы для представления любого вектора в этом пространстве. Например, в двумерном пространстве R^2 базисом могут быть векторы e1 = (1, 0) и e2 = (0, 1).

Линейная комбинация

Линейная комбинация векторов - это выражение, в котором векторы умножаются на некоторые скаляры и складываются. Если у нас есть базис B = {b1, b2, ..., bn}, то любой вектор V в пространстве может быть представлен как:

V = k1*b1 + k2*b2 + ... + kn*bn,

где k1, k2, ..., kn - скаляры.

Доказательство уникальности представления вектора в базисе

1. Предположим, что вектор V может быть представлен двумя различными линейными комбинациями базисных векторов:
• V = k1*b1 + k2*b2 + ... + kn*bn
• V = m1*b1 + m2*b2 + ... + mn*bn
2. Теперь вычтем одно уравнение из другого:
• 0 = (k1 - m1)*b1 + (k2 - m2)*b2 + ... + (kn - mn)*bn
3. Поскольку b1, b2, ..., bn - линейно независимые векторы, это уравнение может равняться нулю только в том случае, если все коэффициенты равны нулю:
• k1 - m1 = 0
• k2 - m2 = 0
• ...
• kn - mn = 0
4. Это означает, что k1 = m1, k2 = m2, ..., kn = mn, и, следовательно, представление вектора V в базисе является уникальным.

Координаты вектора в базисе

Координаты вектора V в базисе B = {b1, b2, ..., bn} - это скаляры k1, k2, ..., kn, которые мы использовали для линейной комбинации базисных векторов. Эти координаты позволяют нам однозначно идентифицировать вектор в данном базисе.

Таким образом, мы доказали, что любой вектор может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов, и это представление является уникальным. Координаты вектора в базисе позволяют нам работать с векторами более удобно и эффективно.