Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерные области. Он позволяет вычислять объем под поверхностью, заданной функцией двух переменных, на определенной области в плоскости.

Формально, если у нас есть функция f(x, y),определенная на области D в плоскости xy, то двойной интеграл функции f по области D обозначается следующим образом:

∬_D f(x, y) dA

где dA - это элемент площади, который в прямоугольных координатах может быть представлен как dx * dy.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем вычислить двойной интеграл:

1. Определение области интегрирования D: Сначала необходимо понять, какую область D мы будем интегрировать. Это может быть прямоугольник, круг, треугольник или любая другая область.
2. Выбор порядка интегрирования: В зависимости от области D, мы можем интегрировать сначала по x, а потом по y, или наоборот. Это определяет порядок интегрирования.
3. Запись двойного интеграла: После выбора порядка интегрирования, мы записываем двойной интеграл в виде:

   ∫(a до b) ∫(c до d) f(x, y) dy dx

   или

   ∫(c до d) ∫(a до b) f(x, y) dx dy

4. Вычисление интегралов: Сначала вычисляем внутренний интеграл, а затем внешний. Это можно сделать, используя стандартные методы интегрирования.
5. Подстановка пределов: После вычисления интегралов, подставляем пределы интегрирования и находим окончательный результат.

Пример:

Рассмотрим функцию f(x, y) = xy и область D, заданную прямоугольником: 0 ≤ x ≤ 2 и 0 ≤ y ≤ 3.

1. Записываем двойной интеграл: ∬_D xy dA = ∫(0 до 2) ∫(0 до 3) xy dy dx.
2. Сначала вычисляем внутренний интеграл: ∫(0 до 3) xy dy = x * [y^2/2] (от 0 до 3) = x * (9/2) = (9/2)x.
3. Теперь вычисляем внешний интеграл: ∫(0 до 2) (9/2)x dx = (9/2) * [x^2/2] (от 0 до 2) = (9/2) * (2^2/2) = (9/2) * 2 = 9.

Таким образом, двойной интеграл функции f(x, y) = xy по области D равен 9.