Определение элипса как геометрического места точек, вывод канонического ур-я элипса.

Другие предметы Колледж Эллипс определение эллипса геометрическое место точек каноническое уравнение эллипса линейная алгебра аналитическая геометрия колледж свойства эллипса уравнение эллипса координаты эллипса график эллипса Новый

Определение эллипса

Эллипс — это геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от каждой точки эллипса до двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна и равна 2a, где a — половина длины большой оси эллипса.

Вывод канонического уравнения эллипса

Для вывода канонического уравнения эллипса рассмотрим следующие шаги:

1. Определение фокусов и параметров:
   • Обозначим фокусы эллипса как F1 и F2, расположенные на оси X в точках (-c, 0) и (c, 0).
   • Обозначим длину большой оси как 2a, тогда a — это расстояние от центра эллипса до его вершин по оси X.
   • Длина малой оси будет равна 2b, где b — расстояние от центра до вершин по оси Y.
   • Согласно свойствам эллипса, выполняется соотношение: c^2 = a^2 - b^2.
2. Определение точки на эллипсе:
   • Рассмотрим произвольную точку P(x, y) на эллипсе.
   • Согласно определению эллипса, сумма расстояний от точки P до фокусов F1 и F2 равна 2a:
   • |PF1| + |PF2| = 2a.
   • Расстояния можно выразить как: |PF1| = sqrt((x + c)^2 + y^2) и |PF2| = sqrt((x - c)^2 + y^2).
3. Квадрат суммы:
   • Подставим расстояния в уравнение: sqrt((x + c)^2 + y^2) + sqrt((x - c)^2 + y^2) = 2a.
   • Для упрощения, возведем обе стороны в квадрат, но сначала перенесем одно из расстояний:
   • sqrt((x + c)^2 + y^2) = 2a - sqrt((x - c)^2 + y^2).
   • Теперь возведем обе стороны в квадрат и упростим уравнение.
4. Получение канонического уравнения:
   • После всех преобразований, мы получим уравнение вида:
   • (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1.
   • Это и есть каноническое уравнение эллипса, где:
   • a — длина полуоси по оси X, b — длина полуоси по оси Y.

Таким образом, мы получили каноническое уравнение эллипса, которое описывает все точки, находящиеся на этом геометрическом месте. Эллипс имеет важное значение в различных областях, включая физику, астрономию и инженерные науки.