Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла.

Другие предметы Колледж Тройные интегралы тройной интеграл определение тройного интеграла теорема тройного интеграла математический анализ колледж интегралы в математическом анализе свойства тройного интеграла Новый

Определение тройного интеграла

Тройной интеграл – это обобщение двойного интеграла на трехмерное пространство. Он позволяет вычислять объемы, массы и другие характеристики трехмерных фигур и функций, заданных в объеме. Формально, тройной интеграл функции f(x, y, z) по объему V определяется как предел суммы объемов малых параллелепипедов, взятых в точках (x_i, y_i, z_i) и умноженных на значения функции в этих точках:

Если V – это область в трехмерном пространстве, то тройной интеграл функции f по объему V записывается следующим образом:

∫∫∫_V f(x, y, z) dV

где dV – элемент объема, который может быть представлен как dx * dy * dz в прямоугольных координатах.

Теорема существования тройного интеграла

Теорема существования тройного интеграла утверждает, что если функция f(x, y, z) непрерывна на компактной области V в R³, то тройной интеграл этой функции по объему V существует. Для доказательства этой теоремы можно использовать следующее:

1. Непрерывность функции: Если функция f непрерывна на области V, то она ограничена. Это означает, что существует такое число M, что |f(x, y, z)| ≤ M для всех (x, y, z) из V.
2. Разбиение области: Разделим объем V на N малых параллелепипедов (например, кубов). Обозначим объем каждого параллелепипеда как ΔV_i.
3. Сумма объемов: Для каждого параллелепипеда вычислим значение функции в некоторой точке (x_i, y_i, z_i) и умножим его на объем этого параллелепипеда. Получим сумму S = Σ f(x_i, y_i, z_i) * ΔV_i.
4. Предел суммы: Когда размер параллелепипедов стремится к нулю, сумма S стремится к пределу, который и будет равен тройному интегралу ∫∫∫_V f(x, y, z) dV.

Таким образом, если функция f непрерывна на области V, то тройной интеграл существует и может быть вычислен с помощью предела сумм по малым объемам.