Тройной интеграл в сферических координатах.

Другие предметы Колледж Тройные интегралы тройной интеграл сферические координаты математический анализ колледж интегралы в математике координатные системы объемы в интегралах Новый

Тройной интеграл в сферических координатах позволяет вычислять объемы и массы тел, а также решать другие задачи, связанные с многомерным интегрированием. Сферические координаты представляют собой систему координат, в которой точка в пространстве задается тремя параметрами: радиусом, углом азимута и углом наклона. Давайте разберем, как это работает.

Сферические координаты:

• r - радиус (расстояние от начала координат до точки), r >= 0
• θ (тета) - угол азимута (угол между проекцией радиуса на плоскость xy и осью x), 0 <= θ < 2π
• φ (фи) - угол наклона (угол между радиусом и осью z), 0 <= φ <= π

Для перехода от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) используются следующие преобразования:

• x = r * sin(φ) * cos(θ)
• y = r * sin(φ) * sin(θ)
• z = r * cos(φ)

Якобиан преобразования:

При переходе к сферическим координатам необходимо учитывать якобиан преобразования, который в данном случае равен:

J = r² * sin(φ)

Формула для тройного интеграла:

Тройной интеграл в сферических координатах имеет следующий вид:

∫∫∫ f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(r * sin(φ) * cos(θ), r * sin(φ) * sin(θ), r * cos(φ)) * r² * sin(φ) dr dφ dθ

Шаги для вычисления тройного интеграла:

1. Определите пределы интегрирования для r, φ и θ в зависимости от области интегрирования.
2. Запишите функцию f в сферических координатах, используя преобразования.
3. Умножьте функцию на якобиан J = r² * sin(φ).
4. Запишите тройной интеграл с учетом найденных пределов интегрирования и преобразованной функции.
5. Выполните интегрирование по переменным r, φ и θ последовательно, начиная с самой внутренней переменной.

Пример:

Рассмотрим тройной интеграл для вычисления объема сферы радиуса R:

V = ∫∫∫ dV, где пределы:

• r: от 0 до R
• φ: от 0 до π
• θ: от 0 до 2π

Тогда интеграл будет выглядеть так:

V = ∫(0 до 2π) ∫(0 до π) ∫(0 до R) r² * sin(φ) dr dφ dθ

После вычисления этого интеграла мы получим объем сферы:

V = (4/3) * π * R³.

Таким образом, тройной интеграл в сферических координатах является мощным инструментом для решения задач в математическом анализе, особенно связанных с объемами и массами тел.