Метод простой итерации — это один из численных методов, который может быть использован для решения линейных систем уравнений. Чтобы понять, как он ведет себя в контексте сходимости и расходимости, рассмотрим несколько ключевых моментов.

Метод заключается в следующем: мы преобразуем систему линейных уравнений Ax = b в итерационную форму x = Gx + c, где G — матрица, а c — вектор. Затем мы начинаем итерации, начиная с некоторого начального приближения x0, и продолжаем итерации до тех пор, пока не достигнем заданной точности.

Метод простой итерации будет сходиться, если матрица G является сжимающей. Это означает, что:

• Норма матрицы G должна быть меньше единицы: ||G|| < 1.
• Система уравнений должна быть хорошо обусловленной, то есть изменения в правой части b не должны вызывать слишком больших изменений в решении.

Если матрица G не удовлетворяет условиям сходимости, метод может расходиться. Признаки расходимости включают:

• ||G|| >= 1, что означает, что каждое новое приближение может быть равным или больше предыдущего.
• Система уравнений плохо обусловлена, что может привести к значительным ошибкам при итерациях.

Рассмотрим систему уравнений:

• 2x + y = 1
• x + 2y = 1

Мы можем преобразовать её в итерационную форму, например, выразив x и y через итерационные формулы:

• x = (1 - y) / 2
• y = (1 - x) / 2

Теперь мы можем определить матрицу G и проверить, удовлетворяет ли она условиям сходимости.

Метод простой итерации может быть эффективным для решения линейных систем, но его успешность зависит от свойств матрицы G. Если вы хотите, чтобы метод сходился, важно убедиться, что матрица удовлетворяет условиям сходимости. В противном случае, метод может привести к расходимости, и вам следует рассмотреть альтернативные численные методы.