Определить как ведет себя метод простой итерации для линейной системы.

• сходится
• расходится

Другие предметы Колледж Метод простой итерации для линейных систем метод простой итерации линейная система сходимость расходится вычислительные методы колледж анализ методов итерационные методы решение уравнений численные методы Новый

Метод простой итерации является одним из методов численного решения линейных систем уравнений. Для того чтобы понять, как он себя ведет, необходимо рассмотреть несколько ключевых моментов.

1. Условия сходимости метода

Метод простой итерации будет сходиться, если матрица системы удовлетворяет определенным условиям. В частности, для линейной системы Ax = b, где A - матрица коэффициентов, x - вектор неизвестных, b - вектор свободных членов, необходимо:

• Матрица A должна быть строго диагонально доминирующей, то есть для каждой строки суммы модулей элементов, кроме диагонального, должны быть меньше модуля диагонального элемента.
• Либо матрица A должна быть симметричной и положительно определенной.

2. Применение метода

Метод простой итерации заключается в преобразовании исходной системы уравнений к итерационной форме:

• Сначала мы можем выразить одну переменную через другие, например, x1 = f1(x2, x3, ..., xn).
• Затем на каждом шаге итерации мы подставляем текущие значения переменных в правую часть уравнения и получаем новые значения переменных.

3. Анализ сходимости

Для анализа сходимости метода можно использовать спектральный радиус матрицы итерационного процесса:

• Если спектральный радиус ρ(T) < 1, где T - матрица итерационного оператора, то метод будет сходиться.
• Если ρ(T) ≥ 1, то метод расходится.

4. Примеры

Рассмотрим пример. Пусть у нас есть система уравнений:

• 2x1 + x2 = 1
• x1 + 3x2 = 2

Мы можем выразить x1 и x2 через итерационные формулы:

• x1 = (1 - x2) / 2
• x2 = (2 - x1) / 3

Затем мы начинаем итерации, подставляя начальные значения, например, x1 = 0, x2 = 0, и продолжаем до тех пор, пока разность между последовательными итерациями не станет достаточно малой.

Вывод

В заключение, метод простой итерации может быть эффективным для решения линейных систем, но важно проверить условия сходимости перед его применением. Если условия не выполняются, то метод может не только не сходиться, но и расходиться, что приведет к неверным результатам.