Понятие минора матрицы, Базисный минор. Доказательство теоремы о базисном миноре.

Другие предметы Колледж Миноры матриц минора матрицы базисный минор теорема о базисном миноре линейная алгебра аналитическая геометрия колледж матричная теория свойства миноров вычисление миноров применение миноров Новый

В линейной алгебре минор матрицы – это определитель квадратной подматрицы, полученной из данной матрицы путем удаления некоторых строк и соответствующих им столбцов. Понять это понятие поможет следующий алгоритм:

1. Выбор подматрицы: Выберите k строк и k столбцов из матрицы размером n x n, где k ≤ n.
2. Формирование минора: Определитель полученной подматрицы называется минором порядка k.

Теперь давайте рассмотрим базисный минор. Базисный минор – это минор, полученный из матрицы, которая имеет полный ранг. Он соответствует подматрице, состоящей из строк и столбцов, которые образуют базис векторного пространства, соответствующего данной матрице.

Теперь перейдем к доказательству теоремы о базисном миноре:

Теорема: Если матрица A имеет полный ранг, то существует базисный минор, который не равен нулю.

Доказательство:

1. Определение полного ранга: Матрица A имеет полный ранг, если ранг A равен минимальному из количества строк и столбцов. Это означает, что строки (или столбцы) являются линейно независимыми.
2. Выбор подматрицы: Поскольку строки матрицы A линейно независимы, можно выбрать k строк и k столбцов, образующих подматрицу размером k x k, где k равен рангу матрицы.
3. Определитель подматрицы: Поскольку выбранные строки и столбцы линейно независимы, определитель этой подматрицы (базисный минор) будет отличен от нуля. Это следует из свойства определителей: если строки (или столбцы) линейно независимы, то определитель такой подматрицы не равен нулю.
4. Заключение: Таким образом, мы показали, что если матрица A имеет полный ранг, то существует хотя бы один базисный минор, который не равен нулю.

Таким образом, мы доказали теорему о базисном миноре и поняли, как можно использовать понятие минора в линейной алгебре.