Чтобы ответить на вопрос о времени, за которое амплитуда собственных колебаний системы уменьшается в е раз, необходимо рассмотреть процесс затухания колебаний.

Шаг 1: Понимание затухающих колебаний

Затухающие колебания описываются уравнением:

A(t) = A0 * e^(-bt),

где:

• A(t) — амплитуда колебаний в момент времени t;
• A0 — начальная амплитуда;
• b — коэффициент затухания;
• e — основание натурального логарифма (примерно 2.71828).

Шаг 2: Условие задачи

Нам нужно найти время t, когда амплитуда A(t) уменьшится в е раз по сравнению с начальной амплитудой A0. Это означает, что:

A(t) = A0 / e.

Шаг 3: Подстановка в уравнение

Подставляем это значение в уравнение затухания:

A0 / e = A0 * e^(-bt).

Шаг 4: Упрощение уравнения

Теперь можем упростить уравнение, разделив обе стороны на A0:

1 / e = e^(-bt).

Шаг 5: Логарифмирование

Теперь применим натуральный логарифм к обеим сторонам уравнения:

ln(1/e) = ln(e^(-bt)).

Это даст нам:

-1 = -bt.

Шаг 6: Решение для времени t

Теперь можем выразить t:

t = 1 / b.

Вывод:

Таким образом, промежуток времени, за который амплитуда собственных колебаний системы уменьшается в е раз, равен 1 / b, где b — коэффициент затухания. Этот результат показывает, что время затухания зависит от свойств самой системы и ее сопротивления к затуханию колебаний.