Разложите в степенной ряд f(x) = arctg 3x

1. 3x − 3³x³/3 + 3⁵x⁵/5 − …
2. x − x³/3 + x⁵/5 − …
3. 3x − 3x³/3 + 3x⁵/5 − …
4. 3x − 3²x²/2 + 3³x³/3 − …

Другие предметы Колледж Разложение в ряд Тейлора разложение в степенной ряд высшая математика колледж arctg 3x математический анализ степенные ряды функции и их разложения колледж высшая математика примеры разложения функций Новый

Чтобы разложить функцию f(x) = arctg(3x) в степенной ряд, мы можем воспользоваться известным разложением функции arctg(x) в ряд Тейлора.

Функция arctg(x) имеет следующее разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля:

• arctg(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ... = Σ (-1)^(n-1) * x^(2n-1) / (2n-1), где n = 1, 2, 3, …

Теперь, чтобы получить разложение для arctg(3x), мы просто подставим 3x вместо x в этом разложении:

arctg(3x) = 3x - (3x)³/3 + (3x)⁵/5 - (3x)⁷/7 + ...

Теперь мы можем упростить каждый член ряда:

• (3x)³ = 27x³, следовательно, - (3x)³/3 = -9x³
• (3x)⁵ = 243x⁵, следовательно, (3x)⁵/5 = 48.6x⁵
• (3x)⁷ = 2187x⁷, следовательно, - (3x)⁷/7 = -312.42857x⁷

Таким образом, мы можем записать разложение в степенной ряд:

arctg(3x) = 3x - 9x³/3 + 243x⁵/5 - 2187x⁷/7 + ...

Теперь мы можем записать это в компактной форме:

arctg(3x) = Σ (-1)^(n-1) * (3^(2n-1) * x^(2n-1)) / (2n-1), где n = 1, 2, 3, ...

Таким образом, разложение функции f(x) = arctg(3x) в степенной ряд будет выглядеть следующим образом:

f(x) = 3x - 9x³/3 + 243x⁵/5 - 2187x⁷/7 + ...

Это разложение будет сходиться для |3x| < 1, то есть |x| < 1/3.