Разложите в степенной ряд f(x) = sin 2x

Другие предметы Колледж Разложение в ряд Тейлора разложение в ряд степенной ряд математический анализ sin 2x колледж функции ряд Тейлора тригонометрические функции Новый

Чтобы разложить функцию f(x) = sin(2x) в степенной ряд, мы можем использовать известное разложение функции синуса в ряд Тейлора. Начнем с основного разложения для функции sin(x):

1. Разложение sin(x):

• Функция sin(x) может быть разложена в ряд Тейлора вокруг точки 0 (т.е. в нуле) следующим образом:
• sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ... = Σ((-1)^n * x^(2n+1))/(2n+1)!

2. Применение разложения к sin(2x):

Теперь, чтобы получить разложение для sin(2x), мы просто подставим 2x вместо x в разложение sin(x):

• sin(2x) = 2x - (2x)^3/3! + (2x)^5/5! - (2x)^7/7! + ...

3. Упрощение каждого члена:

• Первый член: 2x
• Второй член: -(2^3 * x^3)/3! = -8x^3/6 = -4/3 * x^3
• Третий член: (2^5 * x^5)/5! = 32x^5/120 = 8/30 * x^5 = 4/15 * x^5
• Четвертый член: -(2^7 * x^7)/7! = -128x^7/5040 = -16/630 * x^7 = -8/315 * x^7

4. Обобщение:

Таким образом, мы можем записать разложение sin(2x) в виде:

• sin(2x) = Σ((-1)^n * (2^(2n+1) * x^(2n+1)))/(2n+1)!

Это разложение можно представить в виде суммы, где n принимает значения от 0 до бесконечности.

Итог:

Таким образом, мы получили разложение функции sin(2x) в степенной ряд:

• sin(2x) = 2x - (4/3)x^3 + (4/15)x^5 - (8/315)x^7 + ...

Это и есть искомое разложение функции sin(2x) в степенной ряд.