Решение задачи Коши y'-y=y^2, y(1)=-1/2 является:

• y=e^-(1/2)x
• y=-(1/2)e^2x
• y=-(e^x/e^x+1)

Другие предметы Колледж Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений задача Коши решение задачи Коши математический анализ Дифференциальные уравнения колледж y'-y=y^2 y(1)=-1/2 Новый

Чтобы решить задачу Коши для уравнения y' - y = y^2 с начальным условием y(1) = -1/2, давайте следовать по шагам:

1. Перепишем уравнение:

   Уравнение можно записать в стандартной форме: y' = y + y^2.

2. Решение методом разделения переменных:

   Мы можем разделить переменные, чтобы выразить y и x отдельно. Перепишем уравнение:

   dy / (y + y^2) = dx.

3. Упрощение левой части:

   Левую часть можно разложить на простейшие дроби:

   1 / (y + y^2) = 1 / y - 1 / (y + 1).

   Таким образом, уравнение становится:

   (1/y - 1/(y + 1)) dy = dx.

4. Интегрирование обеих сторон:

   Теперь интегрируем обе стороны:

   • Интеграл от 1/y дает ln|y|.
   • Интеграл от 1/(y + 1) дает ln|y + 1|.
   • Интеграл от dx дает x.

   Таким образом, мы получаем:

   ln|y| - ln|y + 1| = x + C.

5. Упрощение уравнения:

   Используя свойства логарифмов, упростим уравнение:

   ln|y/(y + 1)| = x + C.

   Теперь возведем обе стороны в степень e:

   |y/(y + 1)| = e^(x + C) = e^C * e^x.

6. Подстановка начального условия:

   Теперь подставим начальное условие y(1) = -1/2:

   Подставим x = 1 и y = -1/2 в уравнение:

   |-1/2 / (1/2)| = e^C * e^1.

   Это дает: 1 = e^C * e.

   Следовательно, e^C = 1/e, и C = -1.

7. Получаем общее решение:

   Теперь подставим C обратно в уравнение:

   |y/(y + 1)| = e^(x - 1).

   Решая это уравнение для y, мы можем получить:

   y = -(e^(x - 1)) / (1 + e^(x - 1)).

Таким образом, окончательное решение задачи Коши:

y = -1/(2 + 2e^(x - 1)).

Если есть дополнительные вопросы по решению, пожалуйста, дайте знать!