Решить систему уравнений методом Гаусса.

x1+2x2 +2x3+2x4=13
x1x2-x3 +2x4 =1
2x1 +x3=0

Другие предметы Колледж Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений линейная алгебра аналитическая геометрия метод Гаусса система уравнений решение уравнений колледж математические методы учебные материалы подготовка к экзаменам алгебраические методы Новый

Для решения данной системы уравнений методом Гаусса, начнем с записи системы в виде расширенной матрицы. У нас есть 3 уравнения и 4 переменные (x1, x2, x3, x4). Мы можем представить это следующим образом:

Система уравнений:

1. x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 13
2. x1 * x2 - x3 + 2x4 = 1
3. 2x1 + x3 = 0

Для начала создадим расширенную матрицу:

Расширенная матрица:

| 1  2  2  2 | 13 |
| 1  0 -1  2 |  1 |
| 2  0  1  0 |  0 |

Теперь будем приводить матрицу к ступенчатому виду. Для этого сначала вычтем первое уравнение из второго и третьего:

| 1  2  2  2 | 13 |
| 0 -2 -3  0 | -12 |
| 0 -4 -3 -4 | -26 |

Теперь упростим второе уравнение, поделив его на -2:

| 1  2  2  2 | 13 |
| 0  1  3/2  0 | 6 |
| 0 -4 -3 -4 | -26 |

Теперь добавим 4-кратное второе уравнение к третьему:

| 1  2  2  2 | 13 |
| 0  1  3/2  0 | 6 |
| 0  0  3  -4 | 2 |

Теперь у нас есть ступенчатая форма. Теперь будем решать систему, начиная с последнего уравнения:

1. 3x3 - 4x4 = 2, отсюда x3 = (2 + 4x4) / 3.
2. Подставим x3 в уравнение 2: 0 + x2 + 3/2 * ((2 + 4x4) / 3) = 6. Упростим это уравнение для нахождения x2.
3. Теперь подставим значения x2 и x3 в первое уравнение для нахождения x1.

Таким образом, мы можем выразить все переменные через x4, что будет означать, что у нас есть бесконечно много решений, зависящих от значения x4.

Теперь, подведем итог:

• x3 = (2 + 4x4) / 3
• x2 = 6 - 3/2 * ((2 + 4x4) / 3)
• x1 = 13 - 2x2 - 2x3 - 2x4

Таким образом, мы нашли общее решение системы уравнений, зависящее от свободного параметра x4.