Определение функции, непрерывной на отрезке

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если для любого x0 из этого отрезка выполняется следующее условие:

• f(x0) определена;
• lim (x → x0) f(x) = f(x0).

Это означает, что значение функции в точке x0 совпадает с пределом функции, когда x стремится к x0. То есть, при приближении x к x0 значения функции f(x) должны стремиться к f(x0).

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функции, которые непрерывны на отрезке [a, b], обладают рядом важных свойств:

1. Свойство промежуточных значений: Если функция f непрерывна на [a, b] и f(a) < k < f(b) для некоторого k, то существует хотя бы одна точка c из (a, b), такая что f(c) = k.
2. Свойство ограниченности: Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена. То есть, существуют такие числа M и m, что m ≤ f(x) ≤ M для всех x из [a, b].
3. Свойство компакности: Непрерывная функция на замкнутом отрезке [a, b] достигает своих максимума и минимума. То есть, существуют такие x1 и x2 из [a, b], что f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) для всех x из [a, b].
4. Сумма и произведение непрерывных функций: Если f и g – непрерывные функции на [a, b], то их сумма (f + g) и произведение (f * g) также будут непрерывными на этом отрезке.

Эти свойства делают непрерывные функции важным объектом изучения в математическом анализе и помогают решать множество задач, связанных с анализом поведения функций.