Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Другие предметы Колледж Непрерывные функции определение функции непрерывная функция свойства функций математический анализ функции на отрезке непрерывность функций колледж математика Новый

Определение функции, непрерывной на отрезке

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если для любого x0 из этого отрезка выполняется следующее условие:

• f(x0) определена;
• lim (x → x0) f(x) = f(x0).

Это означает, что значение функции в точке x0 совпадает с пределом функции, когда x стремится к x0. То есть, при приближении x к x0 значения функции f(x) должны стремиться к f(x0).

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функции, которые непрерывны на отрезке [a, b], обладают рядом важных свойств:

1. Свойство промежуточных значений: Если функция f непрерывна на [a, b] и f(a) < k < f(b) для некоторого k, то существует хотя бы одна точка c из (a, b), такая что f(c) = k.
2. Свойство ограниченности: Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена. То есть, существуют такие числа M и m, что m ≤ f(x) ≤ M для всех x из [a, b].
3. Свойство компакности: Непрерывная функция на замкнутом отрезке [a, b] достигает своих максимума и минимума. То есть, существуют такие x1 и x2 из [a, b], что f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) для всех x из [a, b].
4. Сумма и произведение непрерывных функций: Если f и g – непрерывные функции на [a, b], то их сумма (f + g) и произведение (f * g) также будут непрерывными на этом отрезке.

Эти свойства делают непрерывные функции важным объектом изучения в математическом анализе и помогают решать множество задач, связанных с анализом поведения функций.