Давайте разберем, что такое закон больших чисел и как он связан с математическим ожиданием и дисперсией случайных величин.

Закон больших чисел - это теорема в теории вероятностей, которая утверждает, что при достаточно большом количестве испытаний среднее значение выборки будет стремиться к математическому ожиданию генеральной совокупности. Это означает, что если мы будем проводить эксперимент много раз, то среднее значение результатов будет близко к истинному среднему.

Теперь рассмотрим, какие условия необходимы для применения закона больших чисел:

• Математическое ожидание: Существование математического ожидания случайной величины является необходимым условием. Это значит, что для того чтобы закон больших чисел работал, необходимо, чтобы у нас была возможность вычислить математическое ожидание.
• Дисперсия: Если случайные величины имеют ограниченные дисперсии, то это условие является достаточным для применения закона больших чисел. Ограниченная дисперсия означает, что значения случайной величины не разбросаны слишком широко и находятся в определенных границах.
• Независимость: Случайные величины должны быть независимыми. Это может быть как попарная независимость, так и независимость в совокупности. Попарная независимость означает, что любые две величины не зависят друг от друга, а независимость в совокупности подразумевает, что ни одна из величин не влияет на другие в группе.

Таким образом, согласно результатам Хинчина, если у нас есть случайные величины с ограниченными дисперсиями и они независимы в совокупности, то это является необходимым и достаточным условием для применения закона больших чисел. Если же дисперсии неограниченные, то закон больших чисел может не работать, даже если случайные величины независимы.

Важно понимать, что эти условия помогают нам гарантировать, что при увеличении числа наблюдений среднее значение будет стремиться к математическому ожиданию. Это ключевой момент в статистике и вероятностной теории.