Существует ли функция, которая непрерывна, но не дифференцируема в данный точке?

• да
• нет

Другие предметы Колледж Непрерывность и дифференцируемость функций функция непрерывная не дифференцируемая математический анализ колледж примеры непрерывных функций свойства функций дифференцируемость функций Новый

Да, существует множество функций, которые являются непрерывными, но не дифференцируемыми в определенной точке. Одним из самых известных примеров такой функции является функция Вейерштрасса. Однако давайте рассмотрим более простой и интуитивно понятный пример — функцию, которая выглядит как "остроконечный" график.

Рассмотрим функцию f(x), определенную следующим образом:

• f(x) = x^2, если x < 0
• f(x) = 1, если x = 0
• f(x) = x^2, если x > 0

Теперь давайте проанализируем эту функцию:

1. Проверка на непрерывность: Мы должны проверить, существует ли предел функции f(x) при x, стремящемся к 0, и равен ли он f(0).
2. Поскольку f(0) = 1, нам нужно найти предел:
• При x < 0, f(x) = x^2, и предел при x, стремящемся к 0, равен 0.
• При x > 0, f(x) = x^2, и предел также равен 0.
3. Так как предел при x, стремящемся к 0, равен 0, а f(0) = 1, то функция не непрерывна в точке x = 0.

Теперь, чтобы найти другой пример, рассмотрим функцию:

• f(x) = |x|, где x - это абсолютное значение x.

Для функции f(x) = |x|:

1. Проверка на непрерывность: Эта функция непрерывна для всех x, включая x = 0.
2. Проверка на дифференцируемость: Чтобы проверить, дифференцируема ли функция в точке x = 0, мы должны найти производную:
• С левой стороны (x < 0), производная f'(x) = -1.
• С правой стороны (x > 0), производная f'(x) = 1.
3. Поскольку производные слева и справа не равны, функция f(x) = |x| не дифференцируема в точке x = 0.

Таким образом, функция f(x) = |x| является примером функции, которая непрерывна во всех точках, но не дифференцируема в точке x = 0.