Чтобы найти уравнение касательной к функции y = x² / (x + 2)² в точке x = -1, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем значение функции в точке x = -1:
   • Подставим x = -1 в уравнение функции:
   • y = (-1)² / ((-1) + 2)² = 1 / 1 = 1.
2. Найдем производную функции:
   • Для нахождения производной воспользуемся правилом деления:
   • Если u = x² и v = (x + 2)², то производная y = u/v равна:
   • y' = (u'v - uv') / v², где u' = 2x, v' = 2(x + 2).
   • Теперь подставим u, v, u' и v' в формулу:
   • y' = (2x * (x + 2)² - x² * 2(x + 2)) / ((x + 2)²)².
   • Упрощаем это выражение.
3. Найдем значение производной в точке x = -1:
   • Подставим x = -1 в найденное выражение для производной:
   • y'(-1) = (2*(-1) * (1) - 1 * 2(1)) / (1)² = (-2 - 2) / 1 = -4.
   • Таким образом, производная в точке x = -1 равна -4.
4. Запишем уравнение касательной:
   • Уравнение касательной имеет вид: y - y0 = m(x - x0), где (x0, y0) - точка касания, m - угловой коэффициент.
   • Здесь (x0, y0) = (-1, 1) и m = -4:
   • Подставляем в уравнение: y - 1 = -4(x + 1).
   • Упрощаем: y - 1 = -4x - 4.
   • y = -4x - 3.

Таким образом, уравнение касательной к функции y = x² / (x + 2)² в точке x = -1: y = -4x - 3.